שלום לכולכם.

כמנהגי, מדי קבלת ש.ב בחדו"א אני יושב, שובר את הראש כך וכך שעות, מצליח חצי מהשאלות ואת החצי השני, מבולבל ואובד עצות, מעלה על במת הפורום בשבילי ובשביל חבריי למצב.

אז הנה רבותיי, השאלה הראשונה שלא הצלחתי לפענח-



כיצד אני מוכיח שפונקציה חסומה?

בתודה מראש .

אם הפונקציה רציפה , ובאינסוף ומינוס אינסוף קיים גבול והוא סופי אזי הפונקציה חסומה.

בדיוק מה שחשבתי לעצמי, לא נראה לי שיש צורך בהוכחה מתמטית.

אני מאמין שאם הם מבקשים להוכיח את זה, סימן שהטענה שהועלתה מעליי היא זו שאני צריך להראות.

או.קיי, שאלה מעט יותר פשוטה שנוגעת לטכניקה-
עליי למיין נקודות אי-רציפות (אם קיימות) למספר פונקציות וביניהן גם זו:



כיצד? האם להשתמש בתכונת פונקצית הערך השלם בשביל לחסום אותה בין שתי פונקציות אחרות ואז למצוא את הגבולות שלהן?

לדעתי היא רציפה..
היא הרכבה וכפל של פונקציות רציפות בתחומה

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

האם באמת ]x/1[ זאת פונקציה רציפה לכל תחומה?היא ממש לא פונקציה אלמנטרית,ולא משנה מה שיש בסוגריים,התמונה שתתקבל הם רק מספרים שלמים.
עבור X גדול מ1 ,התמונה תהיה 0 רציף,עבור 1 תהיה קפיצה ל1 , ובערכים בין 1 ל 0 כבר אין לי כוח להבין מה הולך שם.(עבור כל שבר רציונאלי תהיה לך נקודת קפיצה או משהו כזה..למשל עבור חצי התמונה תקפוץ ל 2,עבור שליש התמונה תקפוץ ל3,וכו וכו).

כלומר עבור X גדול מ 1 (והבתאמה קטן מ מינוס 1) ,הביטוי באמת רציף.הכאב ראש הוא בערכים בין 1 למינוס 1.
תרגיל קצת בעייתי . הראש שלי מעלה אדים.

אתה כמובן צודק, ברור שפונקציית הערך השלם אינה רציפה, אני יכול להאשים רק את השעה בה התגובה נכתבה

נקודות אי-הרציפות אמורות להיות מהצורה [TEX]\frac{1}{n}[/TEX] כאשר [TEX]n\in\mathbb{N}[/TEX]

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

ברור שקיימת נקודת אי רציפות באזור שם, השאלה כיצד אני מוכיח את זה- הרי כיצד ניתן לחשב גבול של הפונקציה הזו? אולי להראות את התנהגות של הפונקציה כשX בין 1- ל-0 ובין 1 ל-0 ואז להסיק מזה על רציפות הפונקציה ליד 0?

מכיוון שמדובר על נקודות מהצורה [TEX]\frac{1}{n}[/TEX] כאשר [TEX]n\in\mathbb{N}[/TEX], צריך לבדוק את הגבולות כאשר [TEX]x\to\frac{1}{n}[/TEX] מימין ומשמאל

אני חושב שדי ברור שפונקציית הערך השלם מקיימת: [TEX]\lim_{x\to n^+}\lfloor{x}\rfloor = n[/TEX] בעוד [TEX]\lim_{x\to n^-}\lfloor{x}\rfloor = n-1[/TEX]

וכשהופכים מתקבל: [TEX]\lim_{x\to\frac{1}{n}^+} \left\lfloor\frac{1}{x}\right\rfloor = n-1[/TEX] בעוד [TEX]\lim_{x\to\frac{1}{n}^-} \left\lfloor\frac{1}{x}\right\rfloor = n[/TEX]
(כי כאשר [TEX]x\to\frac{1}{n}[/TEX] משמאל אז [TEX]\frac{1}{x}\to{n}[/TEX] מימין, ולהיפך..)



ולכן, מימין:
[TEX]\lim_{x\to\frac{1}{n}^+}f(x) = \lim_{x\to\frac{1}{n}^+} x \cdot \left\lfloor\frac{1}{x}\right\rfloor = \lim_{x\to\frac{1}{n}^+} x \cdot \lim_{x\to\frac{1}{n}^+} \left\lfloor\frac{1}{x}\right\rfloor = \frac{1}{n}\cdot (n-1) = \frac{n-1}{n}[/TEX]

ומשמאל:
[TEX]\lim_{x\to\frac{1}{n}^-}f(x) = \lim_{x\to\frac{1}{n}^-} x \cdot \left\lfloor\frac{1}{x}\right\rfloor = \lim_{x\to\frac{1}{n}^-} x \cdot \lim_{x\to\frac{1}{n}^-} \left\lfloor\frac{1}{x}\right\rfloor = \frac{1}{n}\cdot n = 1[/TEX]

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

ההוכחה צריכה ללכת בערך כמו זו של המשפט הראשון של וויירשטראס

"נניח שתמונת f אינה חסומה. אם כך, לכל n קיימת נקודה [TEX]x_n \in \mathbb{R}[/TEX] (במקום A) כך ש-[TEX]f(x_n)>n[/TEX]."

רק שפה במקום במשפט בולצאנו-וויירשטראס צריך להשתמש בעובדה שלכל סדרה יש תת-סדרה מתכנסת במובן הרחב, ובעקבות כך גם צריך לחלק למקרים, גבול סופי ואינסופי

בסופו של דבר אנו מקבלים ש-[TEX]\lim_{k\to\infty} f(x_{n_k}) \ge \lim_{k\to\infty} n_k = \infty[/TEX]
אם תת-סדרת הנקודות מתכנסת למספר ממשי [TEX]x_{n_k}\rightarrow x[/TEX], אזי ההמשך הוא כמו בהוכחת המשפט הנ"ל: f רציפה, ולכן הגבול הנ"ל הוא [TEX]f(x)[/TEX], סתירה (כי הערך של הפונקציה בנקודה לא יכול להיות אינסוף..)
ואם תת-סדרת הנקודות מתכנסת לגבול אינסופי, [TEX]x_{n_k}\rightarrow \pm\infty[/TEX] אזי נתון כבר שקיימים גבולות סופיים לפונקציה באינסוף ומינוס אינסוף, שוב סתירה.
(יש פה עניין של הגדרת הגבול לפי היינה)


הנתון האחרון ש-f(0)=20 מיותר לי משום מה, הוא נדרש אולי לסעיפים אחרים?

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

נראה לי אפשר להוכיח את זה באופן "אינטואטיבי" יותר: הפונ' מתכנסת ל 1- ול-11 באינסוף ובמינוס אינסוף (בהתאמה), לכן לפי הגדרת הגבול (אפסילון וכל הסיפור)...זה נכון לכל אפסילון ובפרט לאפסילון=1, כך שקיים
[tex]B=_m_a_x\left \{ |B_1| \right ,|B_2|\}[/tex]
אשר מקיים:
[tex]\forall x>B, L+\varepsilon <f(x)<L-\varepsilon\Rightarrow -2<f(x)<0[/tex]
[tex]\forall x<-B, L+\varepsilon <f(x)<L-\varepsilon\Rightarrow 12<f(x)<10[/tex]

בקטעים הללו (כל מה שגדול מ-B וקטן ממינוס B) הפונ' חסומה כי היא מתכנסת.
נסתכל על הקטע [tex]x\in [-B,B][/tex]
זאת פונ' רציפה בקטע סגור, וע"פ משפט ויירשטראוס השני הפונ' מקבלת בקטע את ערכה הגדול והקטן ביותר ועל כן חסומה.

"אינטואטיבי" זה מונח יחסי
מכיוון שהתרגיל מהווה מעין הכללה למשפט ווירשטראס העדפתי להשתמש בהוכחה הקיימת (והפשוטה מאד לדעתי) למשפט

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

יחסי כן, אך את ההוכחה של RP הבנתי קצת יותר טוב מההכללה של ויירשטראס.

יכול להיות שזה כי כתבתי בצורה עקומה..
בהתחלה רק רציתי לתת קווי מתאר של ההוכחה אבל במהלך הכתיבה כבר הכנסתי את הפרטים

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

שאלה נוספת:


ניסיתי לשחק עם משפט ויירשטראס וערך הביניים אבל לא הצלחתי..
אשמח אם מישהו יעזור!

https://www.youtube.com/watch?v=0HRGczvZINQ&noembed

תסתכל על הפונקציה g(x)=f(x)-x, היא רציפה בקטע [a,b] כחיסור של פונקציות רציפות בו ומתקיים g(a)>=0 ו- g(b)<=0 (שהרי לכל x ב [a,b] מתקיים a<=f(x)<=b).
אם g(a)=0 אז c=a וסיימנו. אם g(b)=0 אז c=b וסיימנו.
אחרת מתקיים g(a)>0 ו- g(b)<0 ולפי משפט ערך הביניים קיים c ב- (a,b) כך ש- g(c)=0, כלומר f(c)=c.

Any sufficiently advanced bug is indistinguishable from a feature

פתרון יפה!

איך אנשים מגיעים לחשוב על פתרונות כאלה.. אין לי פשוט מושג..

https://www.youtube.com/watch?v=0HRGczvZINQ&noembed

אותה שאלה, בסעיף ג- אני מתבקש לתת פונקציה שמקיימת את תנאי השאלה (קיימת גם נקודת מקסימום לפונקציה, אחת לפחות בX=0), אך אין לה נקודת מינימום על כל הישר (אינסוף עד מינוס אינסוף).

אולם, אם הפונקציה "מתחילה" בצד השמאלי של ציר ה-X מ11 ויורדת לעבר 1-, הרי שאותה נקודה לא נחשבת כמינימום? או ש1- אינה יכולה להיות נקודה של f משום שX לא יכול להיות שווה לאינסוף? בתודה מראש.

ציטוט:

במקור נכתב על ידי הקרדינל או ש1- אינה יכולה להיות נקודה של f משום שX לא יכול להיות שווה לאינסוף? בתודה מראש.

בדיוק.
גבול באינסוף אינו נקודת קיצון כי אינסוף עצמו אינו נקודה בישר הממשי

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

וזה אומר בעצם שלכל נקודה על גרף הפונקציה אני יכול למצוא נקודה קטנה יותר ומזה נובע שכבר מתנאי השאלה לפונקציה אין מינימום?

כן.

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

הידד! D:

בכדי להביע את שמחתי הרבה:

רגע, אני חושב שלא הבנתי אותך..
למה אתה מתכוון "נובע שכבר מתנאי השאלה לפונקציה אין מינימום"?
זה לא נובע מהתנאים, אתה צריך לבנות פונקציה ספציפית המקיימת זאת

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

במילים אחרות- לבנות ולגזור. הידד...

עדכון משדה הקרב- בניתי פונקציה, אך היא לא רציפה ולכן, אני בא אליכם רבותיי בשאלה- כיצד אני מוצא פונקציה בהינתן הגרף? הרי אני יודע שבX=0 הפונקציה שווה 20, את הגבולות שלה ואני צריך שהנגזרת לא תתאפס בשום נקודה אחרת חוץ מבמקסימום.

השאלה כיצד לבנות פונקציה כזו...

בתודה מראש .

להלן השאלה:


אני זוכר שכל סדרת מספרים רציונאלים יכולה לשאוף למספר רציונאלי או למספר ממשי. לכן אני יכול לקחת את אותה סדרה ולהראות שהיא תשאף לכל מס' ממשי שאציב במקום X. אולם יש שתי שאלות:
א. האם הטיעון הזה נכון?
ב. כיצד אני מראה זאת בצורה מתמטית? אני מראה את הרציפות של [TEX] f(x) [/TEX] ו-[TEX] g(x) [/TEX] ומשווה? בתודה מראש .

בעקרון מספיק שתראה שהסדרה הנ"ל מתכנסת ל-x
(כי היא סדרה של מספרים רציונליים, ועל כן הפונקציות מתלכדות בה, לכן גם בגבול הן מתלכדות, ומכך ששתיהן רציפות הגבול הוא הערך שלהן ב-x)

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

מעברים 1 ו-5 בגלל הרציפות של הפונ', מעברים 2 ו-4 בגלל העובדה ש[tex]\lim_{x \to x_0} f(x)=\lim_{n \to \infty} f(a_n)[/tex] אם מתקיים [tex]\lim_{n \to \infty} a_n = x_0[/tex].
מעבר 3 בגלל ש[tex]f(x)=g(x)[/tex] כאשר [tex]x[/tex] שייך למספרים הרציונליים.

תוכיח ש[tex]\lim_{n \to \infty} \frac{[nx]}{n}=x[/tex] ע"י סנדוויץ'

https://www.youtube.com/watch?v=0HRGczvZINQ&noembed

במשפט האחרון, בלהוכיח שהסדרה מתכנסת ל-X, הכוונה ל-X ממשי, נכון?

כן, לכל x ממשי הסדרה הנ"ל (שהיא סדרה של רציונלים) אמורה להתכנס אליו

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

אם אני לא טועה, אין חובה ש[tex]f(x)[/tex] תהיה רציפה ב [tex]a[/tex].
אם כך, לדעתי הטענה פשוט לא נכונה. קחו לדוגמה את:

https://www.youtube.com/watch?v=0HRGczvZINQ&noembed

לא הבנתי מה אתה מנסה להגיד, אמרת בדיוק את מה שכתוב בשאלה...
אתה נתת דוגמא לפונקציה לא רציפה...

אפשר להוכיח את זה ע"פ הגדרת הרציפות.
הרציפות אומרת שהגבול בנק' a שווה לערך הפונ' בנק'
אז אם הגבול של הפונ' קטן מ-a, אז תוכל לבחור אפסילון<f(a)-1 שעבורו קיימת סביבה שבה לכל x מתקיים f(x)<1.
צריך לכתוב את זה מסודר, אבל זה בגדול ההוכחה.

ציטוט:

במקור נכתב על ידי hzhz אם אני לא טועה, אין חובה ש[tex]f(x)[/tex] תהיה רציפה ב [tex]a[/tex].

מצטער, אבל אתה כן טועה
כל סביבה של נקודה מכילה גם את הנק' עצמה, אלא אם כן מציינים שהסביבה "מנוקבת"

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

אהה... עכשיו הבנתי. מפה אני כבר יודע להמשיך. תודה.

https://www.youtube.com/watch?v=0HRGczvZINQ&noembed

יור וולקאם =]

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

הצלחתי להגיע לתשובה שזה 44 בדרך שהיא חצי ניחוש אבל לא הצלחתי לממש אותה בצורה מתמטית..
ההסבר שלי הוא שלפי משפט לגראנג' מתקבל שקיימת [tex]1<c<9[/tex] כך שמתקיים
[tex]f'(c)=\frac{f(9)-f(1)}{9-1}=\frac{52-20}{8}=4[/tex]

מכיוון ש [tex]-4\le f'(x) \le 4[/tex] לכל X ממשי אז לא יכול להיות מצב שבקטע (1,9) הנגזרת שונה מ-4, כי הקו המחבר בין [tex]f(1)[/tex] ל-[tex]f(9)[/tex] הוא בעל שיפוע של בדיוק 4. אם ב[tex]1<x_0<9[/tex] כלשהו מתקיים [tex]f'(x_0)<4[/tex] אז הפונ' לא תגיע ב[tex]f(9)[/tex] ל-52.

במחשבה שניה, לפי ההסבר הצולע הזה לא צריך את משפט לגראנז'

https://www.youtube.com/watch?v=0HRGczvZINQ&noembed