19-07-2009, 19:12
|
 |
מנהל משבראש, בלשנות, תכנות ויהדות
|
|
חבר מתאריך: 04.06.06
הודעות: 33,133
|
|
|
|
2. אם אתה מדבר על גרף של פונקציה y=f(x) (בתנאי שהיא בעלת נגזרת רציפה ושיט) אתה יכול לחשב את האורך ע"פ:
[TEX]L = \int_{a}^{b} \sqrt { 1 + (f'(x))^2 }\, dx[/TEX]
אך כמו שציינו, לא כל מה שאתה קורא לו "גרפים" הוא באמת גרפים של פונקציה, במקרים של עקומה כללית אתה יכול להשתמש בנוסחה מורחבת
נניח ש-α הינה פרמטריזציה של העקומה (במישור), כלומר: [TEX]\alpha : (a,b) \to \mathbb{R}^2[/TEX]
אזי אורך הקשת בין [TEX]t_1, t_2 \in (a,b)[/TEX] הוא: [TEX]L = \int_{t_1}^{t_2} \|\frac{d\alpha}{du}\|\, du[/TEX]
עריכה:
לדוגמא, פרמטריזציה למעגל בעל רדיו R שמרכזו בראשית הצירים היא:
[TEX]\alpha (t) = (R\cos t, R\sin t)[/TEX] כאשר t בין אפס ל-2 פאי
הנגזרת:[TEX]\dot\alpha (t) = (-R\sin t, R\cos t)[/TEX]
הנורמה:[TEX]\|\dot\alpha (t)\| = \sqrt{(-R\sin t)^2 + (R\cos t)^2} = R\sqrt{(\sin t)^2 + (\cos t)^2} = R[/TEX]
ולכן אורך היקף המעגל הוא (עד כמה מפתיע):
[TEX]L = \int_{0}^{2\pi} R\, du = 2\pi R[/TEX]
נערך לאחרונה ע"י ShoobyD בתאריך 19-07-2009 בשעה 19:27.
|
ראשי
צ'אט
.
מצב כלאיים
