13-04-2005, 14:13
|
|
|
חבר מתאריך: 22.06.03
הודעות: 427
|
|
פתירת הפולינום ותורת גלואה על זרת אחת
טוב, בואו קודם כל נתרכז בחלק הפשוט:
ax^3+bx+c=0
נגדיר החלפת משתנים;
x=w-b/(3w) (Viete
הצבת וייאטה. (תתעלמו מהשם שם באנגלית, זה כדי לסדר את המשוואה). כל מה שנשאר לעשות הוא להציב את x בתוך המשוואה (ניתן לכם לעשות את זה לבד ), ולקבל משוואה שקולה:
w^6+cw^3-b^3/27=0
אבל זו משוואה ריבוית עבור w^3, כלומר פתירה! חלצו את w, תציבו אותו בביטוי ל-x, ומש"ל.
כעת, מה נותנת לנו תורת גלואה; תורת גלואה (המוכרת גם בשמה "תורת המשוואות"), מספרת לנו (בין היתר, אני מדבר רק על מה שקשור לנושא כאן) איזה פולינום ניתן לפיתרון ע"י הוצאת שורשים.
שימו לב- זה לא נכון להגיד ש"אין פיתרון אנליטי", אלא שע"י הוצאת שורשים, הפולינום לא פתיר.
איך היא עושה את זה?
למי שמבין קצת ויודע אלגברה מודרנית (עידו עוד מסתובב פה?), אפשר להתאים (כמעט) לכל פולינום ממעלה n תת חבורה של Sn, החבורה הסימטרית. (אוסף הפרמטוציות על {1,...,n}). ואז תורת גלואה מספרת לנו שפולינום פתיר אם ורק אם החבורה פתירה. טוב, זה היה למי שיודע על מה אני מקשקש.
|