במקום לפרוש את השאלות לכמה אשכולות שונים, חשבתי שכדאי לרכז אותן ביחד ככה שלכולם יהיה מקום אחד לשאול וללמוד. אז, לענייננו-



זה נראה כמו ממוצע חשבוני של המשוואה $(1+ \frac {1} {k} )^{k+1}$ והגבול של המשוואה הזו הוא $e$ ולכן גם הממוצע צריך לשאוף ל-e, אך אינני בטוח האם הוא הגבול.

דעתכם?

טוב, עד שאקבל חוות דעת נוספת בנוגע לשאלה שמעליי, הנה שאלה שאין לי שמץ כיצד אפילו להתחיל-



כיצד ניתן להתחיל לעבוד עם הדבר הזה?

בתודה מראש.

לגבי השאלה הראשונה - זה בהחלט נראה כמו ממוצע חשבוני, אבל של e בחזקת n (כי e משתלב אך ורק עבור מה שיש במכנה בסוגריים). ניסתי קצת לשחק עם זה, לא הצלחתי להיפטר בינתיים וגם e^n לא עוזר כשהוא טס לאינסוף... מקווה שבמבט נוסף בהמשך אגלה משהו.

לגבי השני - יש לי תשובה ל-א', את ב' ו-ג' טרם הצלחתי לפצח.
כדי שלסדרה יהיה גבול, היא צריכה להיות חסומה מלעיל ועולה (או חסומה מלרע ויורדת).
במקרה שלנו, די ברור שהיא חסומה מלעיל (כי זה שבר עשרוני אינסופי, A<1). ננסה להראות שהיא עולה ונקבל:
a(n+1)-a(n) = 0.a1a2a3...a(n)a(n+1) - 0.a1a2a3...a(n) = 0.0000...0000a(n+1
מכיוון שזה חיובי, גם אם ממש קטן, הסדרה עולה. אם היא עולה וחסומה מלעיל - קיים גבול.

(מקווה שהכתיבה בלי הנוסחאות והכל לא בילבלו).

חוץ מזה, קרדינל, באיזו פקולטה אתה?

לגבי השאלה השנייה זה דווקא נראה כי $a_n$ היא סתם סדרה של מספרים (מ-0 עד 9), לא עולה ולא יורדת ואין לה איזה שהיא חוקיות (אלא אם נאמר אחרת), לעומת זאת את המספר A אפשר לייצג כ:
$\large {\sum_{n=1}^{\infty }}a_n*10^{-n}$
צריך לחשוב מה עושים מפה
אני זזתי עכשיו, אם זה לא יפתר עד שאני אחזור (ואני בספק, יש כאן כמה אנשים די מוכשרים ) אז אני אנסה שוב...


בלי קשר, אנשים פה מעוניינים לעשות איזה "מפגש" פורום סטודנטים-טכניון אולי? נראה שיש פה לפחות 4-5 אנשים...

יועלה סקר בנושא

מיכל - 20.1.13
מאיה - 9.11.14
נטע - 2.4.20

לגבי סעיף 1:
A חסומה מלרע ע"י 0 ומלעיל ע"י 1 ולכן היא חסומה.
ככל שה-n-ים גדלים כך המספר גדל או נשאר כשהיה (נוספת ספרה) ולכן A מונוטונית עולה.
מכאן ל-A יש גבול סופי.

אופס.. לא ראיתי את התגובה של kobmyster

לגבי 2 ו-3 אני חושב שיש להשתמש בהגדרה של סופרמום:
1. $A\le sup(A)$
2. לכל $\epsilon>0$ מתקיים $sup(A)<A+\epsilon$

https://www.youtube.com/watch?v=0HRGczvZINQ&noembed

למעשה גם אתה וגם Kobmyster נפלתם בכשל לוגי, הנחתם שהביטוי הנ"ל הוא בין 0 ל-1 ע"פ צורתו והבנתכם האינטואיטיבית אותו ולא על סמך הגדרתו

בהנחה שמגדירים:
$0.a_1a_2a_3\dots := \sum_{n=1}^\infty a_n 10^{-n}$
עדיין צריך להראות שטור זה מתכנס (או לחילופין, שהוא חסום מלעייל ע"י 1 כמו שטענתם)


האמת שאין לי כוח לחשוב כרגע על הוכחה, אבל בכל זאת אמשיך עם הסעיפים הבאים
את הפיתוחים המחזוריים ניתן לפתור ע"י מעבר לגבול של סכומים חלקיים וזכירת סכומו של טור הנדסי
אם $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$ אזי $S_n = \frac{a_1\cdot(q^n-1)}{q-1}$
ולכן כאשר ‎|q|<1 קיים גם סכום לטור האינסופי: $S_\infty=a_1\frac{q^n-1}{q-1} =\frac{a_1}{1-q}$

אצלנו q=1/10 והאיבר הראשון בסדרה הוא למעשה $\frac{a_1}{10}$ ($a_1$ מהפיתוח העשרוני, שהוא למעשה שווה גם לכל שאר הספרות בו), ועל כן מתקיים:
$\sum_{n=1}^\infty a_1 10^{-n} = \lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N a_110^{-n} = \frac{\frac{a_1}{10}}{1-\frac{1}{10}} = \frac{\frac{a_1}{10}}{\frac{10-1}{10}} = \frac{\frac{a_1}{10}}{\frac{9}{10}} = \frac{a_1}{9}$

עבור ‎0.3333...‎ הספרה $a_1=3$ ולכן הסכום הוא $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$
עבור ‎0.9999...‎ הספרה $a_1=9$ ולכן הסכום הוא $\frac{9}{9} = 1$

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

רק רגע... אז מה הכשל הלוגי וכיצד ניתן להוכיח שהגבול קיים?

כמו שכתבתי, הכשל הוא שהם מניחים שה"מספר" הוא קטן מ-1 בגלל צורתו (אפס נקודה משהו) וזה דבר שלא נובע מהגדרתו כטור
כדי להוכיח שקיים גבול צריך להוכיח שהטור הנ"ל מתכנס תמיד.

עכשיו חשבתי על הוכחה שאני מקווה מאד שלא נגועה במעגליות
היא מסתמכת על כך שכבר הראינו ש-‎0.9999...‎ מתכנס

אנו יודעים ש-$0\le a_n \le 9$, כי אלו ספרות
ומכאן גם $0\le a_n 10^{-n} \le 9\cdot 10^{-n}$, כי כפלנו בגורם חיובי

ולכן ע"פ מבחן ההשוואה נקבל שמכיוון ש-$\sum_{n=1}^\infty 9 \cdot 10^{-n}$ מתכנס (ל-1 כדלעייל), אזי גם $\sum_{n=1}^\infty a_n 10^{-n}$ מתכנס

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

הם מבקשים ממני להראות שהיא מתכנסת ואני תוהה- כיצד?

בתודה מראש .

אני מאמין שניתן להראות שהסדרה יורדת מונוטונית וחסומה מלרע ע"י 0

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

כן, ידוע (מגאומטריה או סתם ידוע סלבריטי) אי השוויון הבא:
$0<\sin x<x$
זה לכל x ברביע הראשון (ו-1 בהחלט נמצא שם)
לכן מזה נובע
$\sin a_n<a_n$
ומכאן
$a_n_+_1<a_n$

כמו ששובי אמר, וכמו שאפשר לראות הסדרה הזאת מונוטונית יורדת וחסומה ב-0 ולכן בהכרח מתכנסת לגבול סופי.
לחשב את הגבול זה סיפור אחר.

התחושה אומרת שהגבול הוא 0
להוכיח את זה, זה סיפור אחר.

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

הוכחת מונוטוניות יורדת וחסומה מלרע ב-0 לא מספיק?

זה רק מוכיח שהיא מתכנסת, אבל אתה לא יודע למה
יכולת לומר גם שהיא סדרה מונוטונית יורדת וחסומה מלרע ע"י מינוס 17, הטיעון היה אותו דבר

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

אבל,אבל... אני הולך לשרוף את הפקולטה למתמטיקה. ככה כ-ו-ל-ם יהיו מרוצים!

תודה ומאיזו שהיא סיבה המשפט האחרון זורע בי אימה O.O

צריך להסתכל בטופס שאלות בסעיף ב של אותה שאלה(הסעיף אגב פתור).
מה שכתוב שם (תסלחו לי שאני לא בקי ב TEX): אם
lim(An+1-An)=L אז lim(An/n)=L

בסעיף הזה צריך להוכיח את הטענה,אבל היא פתורה באתר הקורס של הטכניון.
מפה לא צריכות להיות בעיות.

לא ברור לי המשפט שרשמת פה...
אם $a_n$ מתכנסת ל-L אזי גם $a_n_+_1$ תתכנס ל-L ולכן
$\lim_{n \to \infty } (a_n_+_1-a_n)=0$ (ע"פ אריתמטיקה של גבולות...)

אני לא מצליח להבין מה זה בדיוק נותן לנו פה, אני אודה לך אם תוכל לפרסם את המשך החישוב

אני כבר מיואש...
קיימת הטענה הבאה, אם היא נכונה צריך להוכיח, אם לא נכונה צריך להביא דוגמה נגדית.

יהי V מרחב וקטורי מעל השדה $Z_p$, כאשר p ראשוני, אז כל תת קבוצה לא ריקה של V הסגורה לחיבור היא תת מרחב של V.

אין לי מושג איך אפילו להתחיל, ההגיון אומר לי שזה נכון, אבל אני פשוט לא רואה איך אני מוכיח את זה.

צריך לבדוק אילו מאקסיומות המרחב הוקטורי צריך להוכיח

סגירות לחיבור נתונה

קומוטטיביות ואסוציאטיביות החיבור, אסוציאטיביות כפל בסקלר, אדישות כפל באיבר היחידה, ו-2 חוקי הפילוג (דיסטריביוטיביות) נובעים בתורשה מהמרחב הכולל

נראה כי וקטור האפס נמצא בתת-הקבוצה
וכמו-כן, נראה שלכל וקטור בתת-הקבוצה גם הנגדי לו נמצא בה

נתון שהמרחב הוקטורי הוא מעל שדה סופי $\mathbb{Z}_p$, לכל שדה סופי קיים מאפיין ראשוני, במקרה שלנו p
כלומר לכל איבר בשדה $a\in\mathbb{Z}_p$ מתקיים $p\cdot a := \overbrace{a+a+\dots +a}^p = 0$ (חיבור של p איברים)

מכאן נקבל שלכל $v\in V$ מתקיים
$\overbrace{v+v+\dots +v}^p = \overbrace{1\cdot v +1\cdot v+\dots +1\cdot v}^p = (\overbrace{1+1+\dots +1}^p) v := (p\cdot 1)v = 0\cdot v = \vec{0}$
ולכן מכיוון שתת-הקבוצה סגורה לחיבור, וקטור האפס נמצא בה

לגבי הוקטור הנגדי, פשוט ניקח את $(p-1)v := \overbrace{v+v+\dots +v}^{p-1}$ הנמצא בתת-הקבוצה בגלל הסגירות לחיבור, וממה שנכתב לעייל נובע ש-$v+(p-1)v = \vec{0}$

מה עוד נשאר?

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

רק כפל בסקלר...

נו, זה גם פשוט, שהרי מדובר ב-$\mathbb{Z}_p$ (למעשה כל שדה סופי איזומורפי לאחד מהם)
מה שאומר שכפל בסקלר, שהוא מספר שלם בין 0 לp-1, בוקטור כלשהו הוא כחיבור אותו וקטור באותו מספר של פעמים

אם $n \in\mathbb{Z}_p$, כלומר $0\le n \le p-1$, ואז:
$n\cdot v = (\overbrace{1+1+\dots +1}^n) v = \overbrace{v+v+\dots +v}^n$
ושוב, כיוון שתת-הקבוצה סגורה לחיבור, הסכום הנ"ל נמצא בה

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

זה ברור לי (האמת שאת רוב הדברים הצלחתי להבין כבר בדרך חזרה בהליכה מהטכניון לדירה-אבל אתה עזרת לי להפוך את זה מהג'יבריש בראש למתמטיקה ).
שאלה - בשדות $Z_p$ המספרים הם רק שלמים או שגם שברים יכולים להיות שם?
ד"א - איך עושים אותיות של מרחבים (F,Z, Q וכו') ב-latex?

$\mathbb{Z}_p$ מוגדר כשדה השאריות מסדר p, באופן מופשט מדובר על המספרים השלמים בין 0 לp-1 כאשר מוגדרים עליהם חיבור וכפל מודולו p
(למען האמת ההגדרה הפורמלית היא מעט יותר מסובכת ומשתמשת במושג "חוג מנה" שהוא בעקרו מחלקת שקילות, רק שבמקרה ש-p ראשוני מתקבל שדה)

למעשה ניתן לומר שאלו לא מספרים שלמים אמיתיים, במובן אותו אנו מכירים, וזה כי הם לא פועלים לפי כללי האריתמטיקה הרגילים
לרוב מסמנים אותם עם קו עליון להבדילם משלמים רגילים

מכיוון שמדובר בשדה, אתה יכול בעקרון להגדיר בו חלוקה, או שברים (היינו-הך), רק שהמשמעות שלהם תהיה שונה מהרגיל
לדוגמא ב-$\mathbb{Z}_5$ ההפכי של $\bar{2}$ ביחס לכפל הוא כידוע $\bar{3}$ שכן $\bar{3}\cdot\bar{2} = \bar{6} = \bar{1}$
כך שאם תגדיר את ½ להיות ההפכי של $\bar{2}$ אז תקבל ש-$½ = \bar{3}$
או תקבל לדוגמא גם ש-$\frac{1}{2} = \frac{4}{3}$ באותו השדה


את הסימולים עושים בעזרת הפקודה mathbb
לדוגמא ‎\mathbb{N}‎ יניב את סמל קבוצת המספרים הטבעיים $\mathbb{N}$
אם יש סימונים שאני משתמש בהם לעיתים ואתה רוצה לדעת איך, אתה גם יכול לעשות ציטוט על התגובה שלי ולראות את הקוד ישירות

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

בלי קשר אני חייב להגיד לך תודה ענקית על כל מה שאתה עושה פה בפורום, על התשובות המפורטות והמושקעות והאווירה בפורום באופן כללי

ועכשיו לישון, עוד 6 שעות מתחיל יום סיוט...הרצאה חדו"א,תרגול מדמ"ח,הרצאה אלגברה, הרצאה מ.ספרתיות...ובין לבין צריך איכשהו "לחגוג" יום הולדת לחבר טוב ולנשום.

אין בעד מה

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

ברשותכם רבותיי- עוד שאלה:



כאן הבעיה העיקרית היא שסדרה אחת משולבת באחרת, כך שאינני יכול אפילו לקבוע מה המונוטוניות (אם בכלל) שלהן.

בתודה מראש .

יש לי תחושה, אני מקווה שזה ייתן לך כיוון
התחושה אומרת שזה תלוי מה גדול יותר מבין a ו-b ההתחלתיים
נניח ש-b גדול יותר, אז הסדרה שלו תרד מונוטונית בעוד סדרת ה-a תעלה מונוטונית
ולהיפך אם a גדול יותר
ובסך הכל 2 הסדרות מתכנסות לאותו גבול שאין לי מושג מהו..

מקווה שיעזור לך

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

הדבר היחיד שראיתי עד עכשיו זה ש An גדול מ-Bn כי An זה ממוצע חשבוני ו-Bn זה ממוצע הנדסי וע"פ אי שוויון הממוצעים...
מה עושים עם זה? אין לי מושג.

עדכון: זה מוכיח ש-An מונוטונית יורדת!
$a_n_+_1=\frac{a_n+b_n}{2}<\frac{a_n+a_n}{2}<a_n$
ובאותה דרך אנחנו גם יכולים להוכיח ש-Bn מונוטונית עולה.

עדכון 2: An תמיד חיובית ומונוטית יורדת ולכן חסומה ב-0 (לא חסם, לא אינפימום), ולכן מתכנסת...לאן? לא יודע.

עדכונים בהמשך

עדכון 3 (איזה מתח...):
ע"פ מבחן המנה:
$\large q=\lim_{n \to \infty }=\frac{a_n_+_1}{a_n}=\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{a_n+b_n}{2}}{a_n}=\lim_{n \to \infty}\frac{a_n+b_n}{2a_n}\mathbf{<}\lim_{n \to \infty}\frac{2a_n}{2a_n}=1$

וכאשר q<1
$\lim_{n \to \infty }a_n=0$

כנ"ל לגבי $b_n$
ע"פ מבחן המנה
$\large \large q=\lim_{n \to \infty }=\frac{b_n_+_1}{b_n}=\lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt{a_n\cdot b_n}}{b_n}=\lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt{a_n}}{\sqrt{b_n}} \mathbf{>}1$

וכאשר q>1
$\large \large \lim_{n \to \infty }b_n=\infty$

שאלה נחמדה, אהבתי

הן תמיד חביבות אחרי שמפצחים אותן... תודה רבה על העזרה .

הרבה פחות נחמד לגלות אח"כ שיש טעות בסיסית בחישובים ולא להבין איך מתגברים עליה...
אמרתי ש $a_n>b_n$ ואז אמרתי שAn מתכנסת ל-0 ו-Bn לאינסוף וזה לא כל כך מסתדר...

אם מישהו יודע איך לצאת מהפלונטר זה יהיה נחמד.

יש לך טעות במעברים האחרונים
$\lim_{n \to \infty}\frac{a_n+b_n}{2a_n} < \lim_{n \to \infty}\frac{2a_n}{2a_n}$
$\lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt{a_n}}{\sqrt{b_n}} > 1$

אם $a_n < b_n$ זה לא אומר ש-$\lim_{n \to \infty} a_n < \lim_{n \to \infty} b_n$ (אלא רק קטן או שווה)
קח לדוגמא את $\frac{n}{n+1} < 1 < \frac{n+1}{n}$ ובכל זאת שלושתם מתכנסים ל-1

אני די בטוח ששתי הסדרות מתכנסות ולאותו הגבול
אני די בטוח ששתי הסדרות חסומות מלמעלה ב-a ומלמטה ב-b פשוט אין לי כוח להראות זאת..

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

But you're the last hope of humanity for a brighter future. You can't give up now!

הי, אני זורק לכם כיוונים, אם אראה שתתקעו לגמרי אשתדל לנסות לעזור יותר

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

ראה, אינטואיציה היא בהחלט דבר חשוב אך לי-
א. אין אותה כמעט.
ב. אין שמץ כיצד להוכיח אותה.
אך אני מקווה שRP יהיה מוצלח יותר ממני בלפצח אותה

טוב נו, אני רואה שנטשתם את זה
זה די פשוט מתברר..

לכל n‏, $a_{n+1} := \frac{a_n+b_n}{2} > \frac{b_n+b_n}{2} = b_n > b$ כי סדרת הb-ים מונוטונית עולה
ולכן סדרת הa-ים חסומה מטה בידי b ועל כן מתכנסת

באופן דומה מראים שלכל n‏, $b_{n+1} := \sqrt{a_n\cdot b_n} < \sqrt{a_n\cdot a_n} = a_n < a$ כי סדרת הa-ים מונוטונית יורדת
ולכן סדרת הb-ים חסומה מלמעלה בידי a ועל כן מתכנסת


עכשיו רק נותר למצוא הגבול עצמו

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

שובי, זה כבר לא רלוונטי. עברנו לפיזיקה! D:

אך בתור הוקרת תודה על המאמץ-

בתור אדם חובב חידות (זה בא ביחד עם האהבה למתמטיקה) אני תמיד בחיפוש אחר מענה

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

הנה אם כן חידת בלשים בשבילך, כאות הוקרה לתרומתך למפעל הצלחתי בש"ב.

לתעלומה אתה יכול לחפש במשך חיים שלמים פתרון ולא למצוא, כי פשוט אין לה

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

אתה צריך להקים ערוץ עדכונים משלך אם כך .

הבחנה יפה בנוגע לממוצע החשבוני וההנדסי, אולם אם זה המצב אז אולי מדובר בשתי תת-סדרות של סדרה אחרת (הרגשה).