להלן השאלה הבאה (סעיף ה'):



ברור לי שלפי ההגדרה בסעיף ה', האינפימום הוא 0. השאלה היא כיצד להוכיח זאת באופן מתמטי?

בתודה מראש.

לפי הגדרת האינפימום:
1. [tex]f(x)\ge I[/tex] לכל [tex]x[/tex]
2. לכל [tex]\epsilon >0[/tex] קיים [tex]x_0[/tex] כך שמתקיים [tex]f(x_0) \le I+\epsilon[/tex]

כעת. מה שאתה צריך לעשות זה להוכיח את סעיף 2: תמצא [tex]x_0[/tex] (כפונקציה של [tex]\epsilon[/tex]) כך שמתקיים [tex]f(x_0) \le I+\epsilon[/tex]

https://www.youtube.com/watch?v=0HRGczvZINQ&noembed

אנסה זאת, תודה .

הנה משהו מהסוג התיאורטי:



אני מניח שבשביל לפתור את זה יש צורך בהתעסקות בהגדרות של גבול; הבעיה שהגדרת הגבול היא לא הצד החזק שלי ועד כמה שאני ניסיתי התרגילים נכנסו לתוך סבך של אפסילונים וערכים מוחלטים ממנו לא הצלחתי לצאת.

אקווה שלמישהו אחר יהיה קצת יותר מזל .

אני לא רוצה לכתוב תשובה ארוכה כי יש משהו שלא מסתדר לי, לפי ההיגיון (וגם ע"פ חוקי האריתמטיקה לגבולות...) צריך להיות L=1 ולא קטן או שווה ל-1....
אני לא מול הדפים עכשיו, אם לא יפתרו את זה תוך 3 שעות אני אנסה שוב ויותר ברצינות.

בכל אופן ידוע ש הגבול של An שווה לגבול של An+1 (בסדרה מתכנסת כמובן).
ולכן ע"פ אריתמטיקה של גבולות החלוקה ביניהם צריך לתת 1, אז או שאני מפספס פה משהו, או שזאת סתם שאלה מציקה.

אם אני לא טועה 3=3 נכון בדיוק כמו 3 קטן/שווה 3. אך אני לא חושב שכל העוקץ בשאלה הוא עניין של סמנטיקה...

עד כמה שנראה לי, הגבול L שווה ל-1 רק כאשר הסדרה אינה מתכנסת לאפס
אך כאשר הסדרה מתכנסת לאפס הגבול יכול להיות קטן מ-1

לדוגמא:
[TEX]\left\{ \frac{1}{2^n} \right\}_{n \in \mathbb{N} }[/TEX]
שאז:
[TEX]\lim_{x \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2^{n+1}}}{\frac{1}{2^n}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}[/TEX]

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

אם כך, כיצד מבוצעת ההוכחה? אפילו כיוון כללי יעזור .

נחשוב על זה
(נראה קודם אם RP. יביא תשובה ויחסוך ממני )

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

זה לא בדיוק הוכחה (או שאולי כן), אבל בעצם המשפט הזה נובע מ"מבחן המנה" (או איך שלא קוראים לזה) שאומר שכאשר [tex]a_n[/tex] סדרה חיובית ו [tex]\lim_{n \to \infty} \frac{a_(_n_+_1_)}{a_n}=L[/tex]
אזי כאשר:
[tex]L<1 ====> \lim_{n\to\infty}a_n=0[/tex]
[tex]L>1 ====> \lim_{n\to\infty}a_n=\infty[/tex]
ואם [tex]L=1[/tex] אז אין לדעת (יכול להיות מקרים שונים).

נתון לנו ש [tex]a_n[/tex] מתכנסת משמע [tex]lim_{n \to \infty}a_n\ne \infty[/tex]
ולכן [tex]L\le\ 1[/tex]
נראה לי זה הפתרון הכי אלגנטי לעניין.

nice
שכחתי בכלל מהמשפט הזה

https://www.youtube.com/watch?v=0HRGczvZINQ&noembed

הצעה:
כיוון שהסדרה [tex]a_n[/tex] מתכנסת לגבול סופי אז כל תת-סדרה שלה מתכנסת גם היא לגבול הזה. ניתן להציג את [tex]a_{n+1}[/tex] כתת סדרה של [tex]a_n[/tex] שמתחילה מהאיבר השני והלאה. משמע:
[tex]\lim_{n \to \infty} a_n=\lim_{n \to \infty} a_{n+1}[/tex]

מכאן, לפי אריתמטיקה:
[tex]\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\lim_{n \to \infty} a_{n+1}}{\lim_{n \to \infty} a_n}=1[/tex]

עריכה:
לא שמתי לב לתגובות שמעלי. אני מניח שזה אכן לא כזה פשוט

https://www.youtube.com/watch?v=0HRGczvZINQ&noembed

הפעם (אני חושב) מדובר במשהו מספרי לחלוטין-
עליי לתת דוגמה (או להוכיח שלא קיימת) סדרה של מס' רציונאלים שמתכנסת למס' אי-רציונאלי. עד כמה שזכור לי קיימת סדרה כזו, הבעיה היחידה היא איזו דוגמה נותנים (אני הרי לא יכול לקחת ביטויי רציונאלי ולהגיד- "תסמכו עליי- היא הופכת לאי רציונאלית").

לא רק שקיימת סדרה כזאת, אלא לעיתים כך מגדירים מספרים ממשיים כהרחבה של הרציונליים

קח דוגמא פשוטה:
‎3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159, 3.141592, 3.1415926‎
כולם רציונליים ואני חושב שברור שהם מתכנסים למספר π שאינו רציונלי (ואף אינו אלגברי..)

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

והאם מספרים רציונאלים גם מתכנסים מספרים רציונאלים? או לחילופין- מספרים אי-רציונאלים שמתכנסים לרציונאלים?

מספרים רציונליים יכולים להתכנס לכל מספר ממשי (כמובן שגם לרציונליים, פשוט כך סדרה קבועה )
וכן, גם מספרים אי-רציונליים יכולים להתכנס לכל מספר ממשי
זה למעשה נובע מהצפיפות של 2 הקבוצות בקבוצת הממשיים

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

תהייה- הסדרה [TEX] \frac {\pi} {\pi} [/TEX] היא סדרה של מספרים אי-רציונאלים שמתכנסת למספר רציונאלי?

[TEX] \frac {\pi} {\pi} = 1 [/TEX]
מה הסדרה? יש פה רק מספר


[TEX]\left\{ \frac {\pi} {n} \right\}_{n\in \mathbb{N}}[/TEX] היא דוגמא לסדרה של אי-רציונלים המתכנסת ל-0 שהוא רציונלי

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

אאל"ט
נגיד ש [tex]b_n=k+\frac{a_1}{10^1}+\cdot\cdot\cdot+\frac{a_n}{ 10^n}[/tex] כאשר [tex]a_n \in [0,9][/tex]

אז עבור [tex]X \in \mathbb{R}[/tex]
[tex]X=\lim_{n \to \infty} b_n[/tex]

https://www.youtube.com/watch?v=0HRGczvZINQ&noembed

יש לי שאלה בה עליי להביא דוגמה לסדרה או להוכיח שאינה קיימת. הצלחתי בכמעט כל סעיף, למעט שניים:

1. סדרה מתכנסת עם גבול סופי שאינה חסומה.
2. סדרה מתכנסת שאינה מונוטונית.

בתודה מראש לכל עזרה .

1. לא אפשרי, זה שולל את הגדרת הגבול.
אפשר להגדיר גבול גם בצורה הבאה: L הוא גבול של סדרה [tex]a_n[/tex] אם בכל סביבה של L נמצאים כל איברי הסדרה חוץ ממספר סופי של איברים.
את ה"מספר סופי של איברים" אפשר לחסום ע"י M, ושאר איברים חסומים בסביבה של L.

2.

[tex]\frac{(-1)^n}{n}[/tex]

יש לה תת סדרות מונוטוניות, אבל הסדרה עצמה לא מונוטונית.

נ.ב: אני לא מאמין שהגעתי למצב שאני מעדיף לעשות תרגילים בחדו"א כדי להתחמק מאלגברה :<

1. חשבתי כך.
2. תודה.

למה להתחמק מאלגברה? דווקא באלגברה הולך לי יותר טוב מבחדו"א.

נ.ב- הסתדר העניין עם אי-שוויון הממוצעים?

כן, פשוט קראתי את הסימן הפכתי בין < ל>...go figure...

לגבי אלגברה-עד עכשיו הרבה יותר טכני, וחדו"א יותר אינטואיציה ופחות טכני, ובשני אני כנראה יותר חזק.

יותר טוב באינטואיציה? are you real?

בכל מקרה, אם באינטואיציה עסקינן הנה עוד עניין לאינטואיציה:
[TEX] \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{7^n+9^n} [/TEX]

עכשיו אני בהתחלה הימרתי על משפט הסנדוויץ', אולם זה לא עזר; גם לא מבחן המנה. אני מניח שיש איזו דרך לפשט את הביטוי, הבעיה שאני לא מוצא אותה...

פה יש "טריק" נחמד
ע"פ משפט (לא יודע את השם שלו, בכל אופן עמוד 60 בספר של קון וזעפרני) שקר כלשהוא:
[tex]\lim_{n \to \infty}\frac{a_n_+_1}{a_n}=\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n}[/tex]
לכן אפשר לכתוב את זה גם כ:
[tex]\lim_{n \to \infty}\frac{7^{n+1}+9^{n+1}}{7^n+9^n}[/tex]
נחלק הכל ב [tex]9^{n+1}[/tex]

ונקבל
[tex]\lim_{n \to \infty} \frac{ \left(\frac{7}{9} \right)^{n+1}+1}{\left(\frac{7}{9} \right)^n\cdot \frac{1}{9}+\frac{1}{9}}[/tex]

כל מקום שיש שבר בחזקת n אפשר פשוט לכתוב 0 ואנחנו נשארים רק עם
[tex]\lim_{n \to \infty}\frac{1}{\frac{1}{9}}=9[/tex]

מש"ל...

מדוע אפשר לכתוב 0 במקום בו יש שבר בחזקת n?

כל שבר קטן מ-1 בחזקת n מתכנס ל-0...

באמת? זה חדש לי. תודה רבה .

יותר פשוט עם סנדוויץ'

[tex]\sqrt[n]{9^n}<\sqrt[n]{7^n+9^n}<\sqrt[n]{9^n+9^n}[/tex]

https://www.youtube.com/watch?v=0HRGczvZINQ&noembed

נראה שRP חביב בחדו"א ולא אוהב אלגברה,והמצב הפוך אצל קרדינל.

למה שלא תיפגשו בלייב ותפתרו תרגילים ככה?שניכם לומדים אותם קורסים(חדו"א 1מ2 ואלגברה 1מ אני מניח,כי השאלות הם מהשיעורי בית להגשה שלי גם ).זה חוסך זמן לדעתי יותר מלחכות לתשובות בפורום,וכולם יוצאים מבסוטים (חוץ מאנשים כמוני שמעתיקים את התשובות פה היישר למחברת ).

מעניין עוד כמה טכניונים נסתרים מסתובבים פה שמעתיקים מכאן את כל שיעורי הבית שלהם

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

לצערי אני לא לומד אף אחד משני הקורסים הנ"ל... :<

לצערי?? אתה רציני?? :O

https://www.youtube.com/watch?v=0HRGczvZINQ&noembed

ואז מה יהיה עם חבריי לספסל הלימודים, שמעתיקים בשקיקה? חוץ מזה, שובי בכל שבוע מכיר לי דרכים חדשות לפתרון תרגילים ובעיות ואני לא חושב שכדאי לוותר על נכס כזה .

בכל אופן אפשר לשקול בחיוב מפגש פורום סטודנטים טכניון...נוכל לדון באפשרויות להשתלטות עוינת על פורום סטודנטים ובתאוריה המוזרה שמאמינה בקיומם של נשים בטכניון

אני במקומך הייתי נזהר בנוגע לתיאוריה הזאת- אחת המנהלות בפרש היא הוכחה שנשים קיימות בטכניון (ואף לומדות לתארים מתקדמים O: ).

אם היו בודקים את זה אני מניח שאחוז הנשים הלומדות לתארים מתקדמים מכלל הסטודנטים לתארים אלה, גדול יותר מאחוז הנשים הלומדות לתואר ראשון מכלל הסטודנטים לתואר ראשון.

https://www.youtube.com/watch?v=0HRGczvZINQ&noembed

לא סתם אחת המנהלות בפרש - אפילו המנהלת של הפורום הזה

מיכל - 20.1.13
מאיה - 9.11.14
נטע - 2.4.20

הפעם אני מקווה שזו באמת תצדיק את העלתה בפני הפורום-
[TEX] lim_{n\to\infty} \frac {10^n} {n!}[/TEX]

אני באמת אובד עצות כאן :S.

תשתמש במבחן המנה, זה יתן לך פתרון קצר ואלגנטי

מה אתם עושים שם בתרגולים?

לפי מבחן המנה הגבול יוצא 0 ולאפס מבחן המנה לא עוזר בדבר... אלא אם 10 חלקי אינסוף הוא משהו אחר...

עריכה: אני חושב שהעתקתי את מבחן המנה לא נכון.... אם הגבול קטן אז זה מעיד שהוא מתכנס או אינסופי?

ע"פ מבחן המבנה מקבלים q=0, ולפי מבחן המנה כאשר q<1 (וזה כולל גם את 0) אז הגבול של הסדרה [tex]a_n[/tex] הוא 0.
וזאת התשובה.
זה נכון לכל מספר בחזקת n חלקי !n

ולנו המתרגל כתב שבשביל 0 הוא לא עוזר... אפילו על המתרגלים בימינו אי-אפשר לסמוך .

להלן הביטוי שעלי לחשב את גבולו, שמאיזו סיבה מזכיר לי מאוד הגדרה של e:



דעתכם המלומדת?

[tex]\frac{n^{17}}{\left( 17+\frac{1}{n}\right)^n}=\frac{n^{17}}{\left[17\left(1+\frac{\frac{1}{17}}{n}\right)\right]^n}=\frac{n^{17}}{17^n} \cdot \frac{1}{\left(1+\frac{\frac{1}{17}}{n}\right)^n}[/tex]

עכשיו תוכיח שהגבול של [tex]\frac{n^{17}}{17^n} [/tex] הוא 0 לפי מבחן המנה.
אחרי זה, לפי האריתמטיקה, הגבול הוא 0.

*הגבול של האיבר הימני אגב, הוא [tex]\frac{1}{e^{\frac{1}{17}}}=\frac{1}{^{17}\sqrt{e}} [/tex]

https://www.youtube.com/watch?v=0HRGczvZINQ&noembed

עבד כמו קסם .

לא יודע...אבל הייתי חייב לשים את זה:

על זה בדיוק אני חשבתי.