תהי G חבורה סופית, צ"ל כי קיים N שלם כך שלכל [tex]a\in G[/tex] מתקיים [tex]a^_N}=e[/tex] (כאשר e הוא איבר היחידה).
הכוונה היא שקיים N יחיד (לכל האיברים ב-G) אשר מקיים את התכונה הזאת.

הצלחתי להוכיח שלכל a קיים n ספציפי שעבורו זה מתקיים, אבל להוכיח שקיים N שמתאים לכולם לא כל כך.

אני אשמח לקבל איזה שהיא הכוונה ולא את הפיתרון המלא...

קח איבר מסויים, תחשוב על החבורה הציקלית הנוצרת על-ידו, ואיך היא קשורה לחבורה G (רמז: משפט לגראנז')

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

טוב, מסתבר שבוויקיפדיה ממש אוהבים להוכיח את המשפט הזה זה די פתר לי את העניין...
זוועה איך שמלמדים אותנו את הקורס הזה, באמת...לא ברור לי איך הם ציפו שנפתור את זה בלי משפט לגרנז' (שעוד לא למדנו אותו), וחבל, זה באמת קורס חביב....

ד"א, אני רק רוצה להבין, בהנחה שאני מכיר את משפט לגרנאז' אז אם G חבורה סופית, ואם הראתי (כמו שכתבתי) שלכל איבר ב-G קיים n שעבורו [tex]a^{n}=e[/tex], אז לפי לגראנז' מתקיים שאם שהסדר של התת-חבורה הציקלית (שגם את המושג הזה לא למדנו, מלמדים זוועה כבר אמרתי?) הוא n אזי הסדר של n מחלק את הסדר של G,וע"כ [tex]a^{|G|}=e[/tex].

בדיוק. הסדר של כל איבר בחבורה מחלק את סדר החבורה
ועל-כן כל איבר בחזקת סדר החבורה ייתן את איבר היחידה

יכול להיות שהם התכוונו שתוכיחו בדרך אחרת, אבל בשביל זה צריך לדעת את הרקע לשאלה..

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

טוב, הנה ההוכחה שכנראה הם התכוונו אליה, האמת שהיא גם ממש פשוטה, אם כי פחות יפה לטעמי
נניח [tex]|G|=t[/tex]
"הראנו" (הראיתי את זה בשאלה הקודמת שלא רשמתי פה) שלכל [tex]a_i\in G[/tex] קיים [tex]n_i[/tex] כך שמתקיים [tex]a_i^{n_i}=e[/tex].
נגדיר [tex]N=\prod_{i=1}^{t}n_i[/tex]

אזי מתקיים
[tex]a_k^{N}=a_k^{\prod_{i=1}^{t}n_i}=(a_k^{n_k})^{n_1 \cdot n_2\cdot \cdot \cdot n_k_-_1 \cdot n_k_+_1\cdot \cdot \cdot n_n}=e^{n_1\cdot n_2\cdot \cdot \cdot n_k_-_1 \cdot n_k_+_1\cdot \cdot \cdot n_n}=e[/tex]