ציטוט:

1.הוכיחו כי למשוואה [tex]\cos x= \sqrt{x}[/tex] יש פיתרון. יש לצטט במדויק כל משפט בו משתמשים, ולהראות כי תנאיו מתקיימים.

אני קצת מאלתר פה, כי בהרצאות/תרגולים לא דיברנו בכלל על הוכחות בעזרת המשפט הזה או משהו שקשור בו, אז אם אני מדבר שטויות, תגידו לי

אה כן, אני לא באמת הולך לצטט את המשפטים...את זה נשאיר למבחן.

אז ככה.
א. "נראה" ש cos x פונ' רציפה
ידוע ש
[tex]\cos x=\sin (\frac{\pi}{2}-x)[/tex]
sin x וגם x הן פונ' רציפות, ולכן גם cos x רציפה
ב.
נכתוב את המשווה המקורית קצת אחרת
[tex]\sin ^{2}\left ( \frac{\pi}{2}-x \right )-x=0[/tex]
ג. על פי חוקי האריתמטיקה לפונ' רציפות מכפלה של שתי פונ' רציפות בנק' a תתן פונ' רציפה, כנ"ל לגבי חיסור/חיבור של פונ' רציפות.
ועל כן גם הביטוי למעלה הוא פונ' רציפה.

ד.
עבור x=0, אנחנו מקבלים ש [tex]f_(_0_)=1[/tex]
ועבור x=2 (וגם עבור x קטן יותר, אבל זה לא באמת אכפת לי) נקבל [tex]f_(_x_)< 0[/tex]

על פי משפט ערך הביניים, אם f פונ' רציפה בקטע [a,b] (במקרה שלנו [0,2], ונתון כי [tex]f_(_0_)\neq f_(_2_)[/tex], ואם d (במקרה שלנו d=0) הוא מספר כלשהוא בין [tex]f_(_0_)[/tex] לבין [tex]f_(_2_)[/tex] אזי קיימת נקודה C בקטע [0,2] שבה [tex]f_(_c_)=0[/tex]

מש"ל.

הייתי בכיוון?

אתה יכול להגיד ש cosx היא פונקציה רציפה, גם בלי ההוכחה שלך ע"H שימוש בסינוס.
זה קצת מצחיק שאתה מוכיח שקוסינוס היא פונקציה רציפה ע"H זה שאתה אומר שסינוס היא פונקציה רציפה, וקוסינוס היא הזזה של פונקציה זו.
חוץ מזה זה ניראה בסדר.

גם דרך מסורבלת וגם העלית בריבוע אז יכול להיות שקיבלת עוד תוצאות בד"כ זה לא רצוי .. נראה לי...
אתה פשוט יכול להגדיר פונקציה חדשה f(x) = cosx -sqrt(x)
נבדוק סתם שתי נקודות: f(0) = 1-0 =1
f(1) = 0-1=-1
f(0)*f(1)<0 (יכול להיות גם קטן שווה 0 אבל עוד יותר טוב)
לפי משפט ערך הביניים קיים c בין 0 ל 1 כך ש f(c) = 0. כלומר קיים x כלשהו כך ש
cosx-sqrtx=0 => cosx=sqrtx
(כמובן שסכום\הפרש פונק' אלמנטריות היא פונקציה רציפה)

אי אפשר להגיד ש [tex]\cos x[/tex] רציפה כי היא אלמנטרית?

https://www.youtube.com/watch?v=0HRGczvZINQ&noembed