אני רק רוצה להוסיף על שי מעליי ולומר שלא רק שגרש הוא אינו "לא עברי", אלא ההפך הוא הנכון, הגרש נחשב לתו עברי מובהק!
המקבילה הלועזית לגרש הוא ה־"אפוסטרוף/אפוסטרופי" (apostrophe) שבעקרון נחשב לתו אחר לגמרי והשימושים שלו שונים לחלוטין.
גרש לא מופיע באנגלית ואפוסטרוף לא מופיע (בדר״כ) בעברית.
הגרש משמש בעברית לדברים ששי כתב, בעוד האפוסטרוף מציין באנגלית (ובשפות אחרות, כמו צרפתית) דברים כגון שייכות, נפילת אותיות וכו׳ (Charlie's Angels).

למען האמת התווים גם אמורים להיראות שונה, הגרש אמור לבוא בגובה האות בעוד האפוסטרוף מעליה, רק שברוב הפונטים לא שמים דגש על זה, ובדר״כ אנשים משתמשים באפוסטרוף בתור גרש (הוא הדין גם במרכאות וגרשיים, כמו ששי ציין), פשוט כי אין מקש סטנדרטי במקלדת שמפיק אותם, וצריך לעשות זאת בדרך עקיפה.
גרש הוא התו ׳, בעוד אפוסטרוף הוא '.
לדוגמא: לדוג׳.. (הגרש בגובה האות ג).

גרשיים הם פשוט 2 גרש־ים מחוברים (ונחשבות גם הן לתו עברי ייחודי), ולכן גם הם בעקרון היו אמורים להיות בגובה האות, לעומת מרכאות שמעליהן.
לדוגמא: "דּוּ״חַ" (=דין וחשבון, בפנים גרשיים ובחוץ מרכאות).

כלל הברזל הוא זה: מרכאות תמיד יופיעו ב־"זוגות", כלומר תו אחד (של מרכאות כפולות או בודדות) בתחילת הקטע/פסוקית, ותו אחד לאחריו,
לעומת זאת הגרשיים מופיעים פעם אחת בלבד, באמצע המילה (ראה הדוגמא לעיל עם המילה דו״ח).



עכשיו אפשר לענות על השאלות שלך אחת אחת:
האם נכון יהיה לטעון כי הגרש הבודד כלל איננו עברי.
תשובה לעייל..

ותפקידו הוא לתאר היגוי שאיננו עברי בלבד (צ'צ'קעס, אילן'ס)
במילה צ'צ'קעס מופיעים 2 גרשים, אחת על כל צ׳, הסימון הוא עברי. הצורה הנכונה תהיה: צ׳צ׳קעס.
במילה אילן'ס אני מבין שהכוונה לשייכות אנגלית, אם כך אז לא מדובר בגרש, אלא באפוסטרוף שהוזכר לעייל, המקור לועזי

למעט קיצור של מילה (וכו', ס' [לסעיף])?
בכולם מופיע גרש עברי

האם גרשיים הם מה שהיאפיס עושים עם האצבעות, דהיינו "בצחוק", או "יענו כאילו"?
לא, מדובר במרכאות (בעלי השימושים הרבים)

ומה הם המרכאות הכפולות?
ומי שמע על מרכאות שאינן כפולות?
כמו ששי ציין, קיימות גם מרכאות בודדות, לדוגמא כאשר יש ציטוט/שם/סרקזם בתוך ציטוט
כלומר כאשר יש מרכאות בתוך מרכאות, אז למרכאות שבפנים משתמשים במרכאות בודדות

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.