בקורס האחרון שלקחתי באוניברסיטה במתמטיקה היה רשום בהקשר כלשהו שערך המספר 0.999.......... (עד לאין סוף,שיש רק תשיעיות) שווה בערכו למספר 1.0
אמרו בספר שיש הוכחה אבל לא כתבו שום דבר אחר לגבי זה...
אז רציתי לדעת אם מישהו יודע משהו לגבי זה..?

חתימתכם הוסרה כיוון שלא עמדה בחוקי האתר. לפרטים נוספים לחצו כאן. תוכלו לקבל עזרה להתאמת החתימה לחוקים בפורום חתימות וצלמיות.

תראה
1/9 זה ...0.1111
2/9 זה ...0.2222
5/9 זה ...0.5555
8/9 זה ...0.8888
9/9 זה 1
(זה סתם נחמד ולא מוכיח כלום )

בוא נעגל כל דבר ל 3 ספרות אחרי הנקודה נגיד:

0.111... = 0.111

0.555... = 0.556
0.888... = 0.889
0.999... = 1.0

אם תשים לב, לא משנה לאיזה דיוק תעגל את המספר זה תמיד יהיה 1

עכשיו אתה יכול לחשוב ש...0.999 הוא המספר הכי קרוב שאפשר, אבל זה גם לא נכון, הרי אתה יכול לעשות לזה כמו לכל מספר אחר ממוצע ביניהם וייצא לך מספר ביניהם, ולפי זה אתה רואה שלא יכול להיות מספר הכי קרוב ל1 שאפשר.

בכל מקרה, עכשיו ל"דבר האמיתי"
גם אם תחסר 1 מ 0.9999 יוצא לך ...0.000 וזה אינסוף אפסים, ככה אתה רואה שהמרחק בין ...0.9999 לבין 1 הוא 0 וזה אומר שזה בעצם אותו מספר.

חתימתכם הוסרה כיוון שלא עמדה בחוקי האתר. לפרטים נוספים לחצו כאן. תוכלו לקבל עזרה להתאמת החתימה לחוקים בפורום חתימות וצלמיות.

ציטוט:

במקור נכתב על ידי Rutasashi תראה 1/9 זה ...0.1111 2/9 זה ...0.2222 5/9 זה ...0.5555 8/9 זה ...0.8888 9/9 זה 1 (זה סתם נחמד ולא מוכיח כלום ) בוא נעגל כל דבר ל 3 ספרות אחרי הנקודה נגיד: 0.111... = 0.111 0.555... = 0.556 0.888... = 0.889 0.999... = 1.0 אם תשים לב, לא משנה לאיזה דיוק תעגל את המספר זה תמיד יהיה 1 עכשיו אתה יכול לחשוב ש...0.999 הוא המספר הכי קרוב שאפשר, אבל זה גם לא נכון, הרי אתה יכול לעשות לזה כמו לכל מספר אחר ממוצע ביניהם וייצא לך מספר ביניהם, ולפי זה אתה רואה שלא יכול להיות מספר הכי קרוב ל1 שאפשר. בכל מקרה, עכשיו ל"דבר האמיתי" גם אם תחסר 1 מ 0.9999 יוצא לך ...0.000 וזה אינסוף אפסים, ככה אתה רואה שהמרחק בין ...0.9999 לבין 1 הוא 0 וזה אומר שזה בעצם אותו מספר.

ה"דבר האמיתי" לא נכון...
ההפרש יהיה 0.000000000000000001, כמה אינסוף אפסיים שלא תשים, בסוף יהיה לך 1, ככה שזה לא ממש מדוייק...

מה גם שאסור להגיד שיש 1 אחרי אינסוף אפסים, אין שום דבר "אחרי האינסוף". אינסוף הוא לא מספר, אין 1 במקום ש"אחריו".

מנהל פורום חומרה

The only certainty in life is that there are no certainties.

אין כזה דבר אינסוף אפסים ואז אחד, כי לא משנה כמה תתקדם עם האפסים אף פעם לא תוכל לשים אחד בסוף, בגלל הסיבה הפשוטה שאין סוף.

אם תתעמק בחישוב התרגיל שבניתי תראה שכל פעם נבנה לך עוד 0 ועוד 0, אף פעם אתה לא תגיע באמת ל-1 המיוחל, ההפרש תמיד יהיה 0 לא משנה איזה רמת דיוק תבחר, אפילו אם היא "אינסופית".

את "הדבר האמיתי" אני המצאתי ברגע שעניתי על השאלה... לא התעמקתי בזה קודם כלכך הרבה ולא חשבתי על זה, אני הצגתי תרגיל שבניתי שמניח את הדעת שלי, הפיתרון של Univers_Zero כניראה הוא הפיתרון הפורמלי, והוא באמת פיתרון יפה.

חתימתכם הוסרה כיוון שלא עמדה בחוקי האתר. לפרטים נוספים לחצו כאן. תוכלו לקבל עזרה להתאמת החתימה לחוקים בפורום חתימות וצלמיות.

סכום סדרה הנדסית אינסופית, מכיר?

s = a1/(1-q)

במקרה שלנו, a1 = 9/10 ו- q = 1/10, לכן הסכום הוא:

s = (9/10) / (1-1/10) = 1

חתימתכם הוסרה כיוון שלא עמדה בחוקי האתר. לפרטים נוספים לחצו כאן.

מנהל פורום חומרה

The only certainty in life is that there are no certainties.

ציטוט:

במקור נכתב על ידי Univers_Zero סכום סדרה הנדסית אינסופית, מכיר? s = a1/(1-q) במקרה שלנו, a1 = 9/10 ו- q = 1/10, לכן הסכום הוא: s = (9/10) / (1-1/10) = 1

אהבתי.
תודה על ההסבר

בעצם אחרי שמוכיחים עבור n איברים, משאיפים את n לאינסוף ומקבלים את הנוסחה שצוינה לעיל.
טור טיילור ייתן את הפיתוח של הפונקציה של הסכום בתור טור אינסופי שאיבריו הם איברי הסדרה...

כמובן שמדובר רק בתחום ההתכנסות שהוא כמובן:

|q|<1

מנהל פורום חומרה

The only certainty in life is that there are no certainties.

I'll pass

מנהל פורום חומרה

The only certainty in life is that there are no certainties.

[ זיו ]
[ fat fish ]

הדרך של טור טיילור היא דרך למצוא את הסכום, לא להוכיח שהוא נכון
בכל אופן גם היא יפה

מנהל פורום חומרה

The only certainty in life is that there are no certainties.

1) נניח ש- x=0.999...
נכפול ב-10 ונקבל 10x=9.999...
נחסר את המשוואה הראשונה בשנייה 10x-x=9.999...-0.999...
נקבל 9x=9
נחלק ב-9 ונקבל x=1
תוצאה:
x=0.999...=1


נ.ב.- הנקודות בורחות לי לצד השני. 0.999... הכוונה ל-0.9 מחזורי.

חתימתכם הוסרה כיוון שלא עמדה בחוקי האתר. לפרטים נוספים לחצו כאן.

ואם כבר אז למה לערב את X? אפשר לעשות את זה פשוט בשני תרגילים:

0.9999...+0.9999...=1.9999...
1.9999...-0.9999...=1

אבל עדיין זה הכי קצר:

1-0.999...=0

אולי קצת קשה להבין שאין בסוף 1 כמו שאין ב...1.999 בסוף 8 כי פשוט אין כזה דבר סוף (אינסוף), ולעולם זה יישאר 9 ולעולם זה יישאר 0.

חתימתכם הוסרה כיוון שלא עמדה בחוקי האתר. לפרטים נוספים לחצו כאן. תוכלו לקבל עזרה להתאמת החתימה לחוקים בפורום חתימות וצלמיות.

ניסיתי להוכיח ש שורש של 3 הוא אי רציונלי ולא הצלחתי בחלק האחרון של חלוקת אי זוגי באי זוגי כי לא התקבלה סתירה.
מישהו יודע את ההוכחה???

הנה הוכחה ששורש של מספר טבעי הוא או מספר שלם או מספר אי-רציונלי:
http://www.math.biu.ac.il/~kaplansh/rotem/images/infi1_t1_5.jpg


אבל למה להקפיץ אשכול מלפני יותר משנה וחצי
ועוד על נושא שלא קשור לשאלה.....

היה יותר פשוט לפתוח אשכול חדש

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.