כי האשכול הקודם די ננטש בגלל הכובד שלו
בתקווה שהאשכול החדש יחיה את הנושא


דברי פתיחה מאת PL@yB0y:

גולשים יקרים,

הוחלט על פתיחת אשכול בו נפרסם חידות בנושאים שונים כמו מתמטיקה, כימיה, פיסיקה וכל שאר המקצועות והנושאים העולים על רוחכם.
המטרה היא להעשיר את הידע כמובן. אנא לא לפרסם פה שאלות משיעורי בית או תרגילים במתמטיקה- זו לא המטרה.
תגובות הלא קשורות לאשכול- ימחקו!

אז כל מי שחושב שיש לו חידה ובא לו שנשבור את הראש מוזמן להעלות אותה

בהצלחה לכולם!



והנה מספר חידות שנותרו ללא מענה:

ציטוט:

במקור נכתב על ידי maxim k נתון גרף פשוט (לא מכוון, חסר לולאות עצמיות) (לאלה שלא מכירים, תכנסו ללינק - ההגדרה מאוד פשוטה). לכל קודקוד מוצמדת נורה. כאשר לוחצים על קודקוד v, מצב הנורה של v מתחלף (אם היא הייתה כבויה היא תידלק, ואם היא הייתה דלוקה היא תכבה), ולכל שכן של v גם מתחלף מצב הנורה. הוכיחו, שאם בהתחלה כל הנורות כבויות, אז ניתן, על ידי סדרה של לחיצות, להגיע למצב בו כל הנורות דולקות. בוא נראה מי ייפתור (אם אתם מכירים, תגידו...) גם אם מישהו לא מליח לפתור, הוא מוזמן לשתף את כולם בתובנות כלשהן שהגי אליהן או תוצאות חלקיות, ואולי זה יעזור למישהו אחר להוכיח...

http://www.fresh.co.il/vBulletin/sh...273#post3094273

ציטוט:

במקור נכתב על ידי maxim k האם ניתן להרכיב ריבוע מטרפזים שווי שוקיים? (לצורך השאלה, מלבן אינו נחשב טרפז שווה שוקיים). הוכיחו. כיוון: האם קיים משולש שניתן לבנות מטרפזים שווי שוקיים?

http://www.fresh.co.il/vBulletin/sh...319#post3135319

ציטוט:

במקור נכתב על ידי maxim k נתונות שש נקודות במרחב שאין ביניהן שלוש נקודות על ישר אחד. בין כל שתי נקודות העבירו קטעים ישרים (15 קטעים סה"כ). יצא שכל קטע הוא באורך אחר. נוצרו 20 משולשים אם כך, כלומר קל קטע הוא צלע ב-4 משולשים. האם בהכרח קיים קטע שהוא הצלע הגדולה ביותר האחד המשולשים ובו זמנית הצלע הקטנה ביותר במשולש אחר? אגב, לא ציינתי זאת קודם - החידה הזאת ושתי החידות הקודמות (על המסיבות ועל הטרפזים) הן חידות שהוצגו בעבר ע"י המשתמש עריסטו מפורום תפוז. אני כמובן מציג רק את החידות שאני מכיר את הפיתרון שלהן או שפתרתי בעצמי. רמז למי שמעוניין: http://en.wikipedia.org/wiki/Theore...s_and_strangers

http://www.fresh.co.il/vBulletin/sh...783#post3183783


יאללה בלגאן!

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

לפניך 6 גפרורים שכולם שווים בגודלם.
בעזרת ששת הגפרורים בנה 4 משולשים שווי צלעות.

רצוי ממש לקחת גפרורים ולנסות...

אני אחכה לראות אם מישהו אחר יענה קודם

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

טוב, אז אני אענה

במילה אחת:
טטראדר

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

ועכשיו תיקח 6 גפרורים שווים בגודלם.
תיצור מהם 6 משולשים שווי צלעות.

זהירות - ספויילר!

לעשות מגן דוד?

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

נכון
זה היה קל.
אני עוד רגע מוסיף חידה גאומטרית קצת יותר קשה.

כדי לנסות ולהחיות את האשכול (עד שיתחילו השיעורים בלימודים ויהרגו אותי) נתחיל עם חידה חביבה (ואני חושב שדי מוכרת) עם פיתרון מאוד אלגנטי.

נתון לוח שחמט שהסירו ממנו שתי פינות מנוגדות (a8 ו-h1 או a1 ו-h8 אם רוצים לדייק) כך שכעת הלוח הוא בגודל 62 משבצות בלבד - האם ניתן לרצף את הלוח באבני דומינו (כל אבן של דומינו מכסה בדיוק שתי משבצות)?

אם אני זוכר נכון, החידה מופיעה (בין היתר) בתחילת הספר "המשפט האחרון של פרמה"

אני אתן לאחרים לענות

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

אתה זוכר נכון (זאת גם הסיבה שכתבתי שהיא די מוכרת)

מוכר לי עוד מימי היסודי

זהירות - ספויילר!

כל עוד מס' המשבצות השחורות שונה ממס' המשבצות הלבנות לעולם לא תוכל למלא את הלוח באבני דומינו, שהרי כל אבן מכסה זוג משבצות מצבעים שונים

החלק הראשון (קל):
נתון מערך בגודל n בו משובצים באקראיות כל המספרים הטבעיים מ-1 עד n+1, בלי חזרות.
מספר אחד חסר.
כיצד תקבעו מה המספר החסר כך שתעברו על המערך רק פעם אחת?

החלק השני (קצת יותר מאתגר):
נתון מערך בגודל n בו משובצים באקראיות כל המספרים הטבעיים מ-1 עד n+2, בלי חזרות.
כעת חסרים שני מספרים.
כיצד תקבעו מה שני המספרים החסרים כך שתעברו על המערך רק פעם אחת?


עריכה, נוסיף חלק שלישי :
חשבו על פתרון נוסף, אחר, שבעצם תמיד ימצא במערך בגודל n שיש בו n+k טבעיים את האיברים החסרים בצורה יעילה.

הפתרון לשאלה הראשונה:

זהירות - ספויילר!

עוברים בלולאה מ1 עד N
שומרים שני משתנים, הראשון הסכום 1+2+3.....+n לצורך העיניין נקרא למשתנה sum1
בשני את סכום האיברים במערך sum2
מחוץ ללואה מבצעים את החישוב הבא
n+1+sum1-sum2 והתוצאה היא האיבר החסר

פתרון אפשרי לשאלה שלישית

זהירות - ספויילר!

אמנם דורש שתי חזרות על מערך בגודל n+k, אבל זה עדייו יעילות O של N+K שזה דיי יעיל.
בונים מערך נוסף בגודל N+K שכל איבריו מאופסים, עוברים על המערך המקורי ועל פי ערכיו מציבים 1 במערך החדש (זאת אומרת אם הערך הראשון במערך המקורי הוא 5 אז במקום החמישי במערך החדש מציבים 1.

בסוף הפעולה רצים על המערך החדש ובכל מקום שמופיע 0 אז זה מספר שחסר במערך הראשון.

הגלריה שלי בפליקר

כל הכבוד
(רק לא צריך להוסיף את n+1, מקבלים את האיבר החסר כשעושים sum1-sum2).

עכשיו נסה את החידה השניה (לא בדרך של השלישית).

בשנייה עושים את אותה הפעולה כמו בראשונה (חיבור), ובנוסף מבצעים גם כפל על הכל. מחלקים את n! בתוצאה שקיבלנו ואז יש לנו שתי משוואות עם שני נעלמים...

יפה מאוד

שברתי שעה את הראש, הלכתי לכיוון של כפל אבל לא חשבתי על שתי משוואות עם שני נעלמים.

דרך אגב, לשאלה 3 במידה וk הוא מספר גדול מאוד ורוצים לחסוך במקום אחסון אפשר למיין את המערך (nlogn לא רע בכלל) ואז בלולאה n+k להצביע על תחילת המערך, אם המספר בלולאה שווה למספר במערך אז לקדם את המערך באחד, אחרת לרשום אותו.

הגלריה שלי בפליקר

חשבו את הערך של הביטוי הבא:

[tex] \frac{(3+2)(3^2+2^2)(3^4+2^4)(3^8+2^8)....(3^{512} +2^{512})+2^{1024}}{3^{1024}}=? [/tex]

בס"ד

אין לי כח לחישוב, אבל הנה דרך:
כשפותחים את הסוגריים, סוכמים את כל הביטויים מהצורה

קוד:

2^n*3^(1023-n)

כאשר n בין 0 ו-1023
משם אפשר להמשיך לפי סכום סדרה הנדסית.

לא הבנתי מה עשית, אבל זה לא הכיוון.

הפתרון הרבה יותר קל ממה שאתה חושב

קודם תראה דרך

1. Open Eclipse
2. Write a simple java code
3. Print the result.

שמע, מבחינה טכנית פתרתי את החידה

זה לא מתקבל

יש לזה פתרון אלגברי נורא פשוט...

עדיין לא הצלחתי - אבל מה שכן ראיתי (לא הוכחתי - ניסוי וטעייה) זה:
1. זה נכון לכל זוג של מספרים עוקבים x,x+1
2. זה נכון גם לכל חזקה שהיא חזקה של 2 ולאו דווקא עד ל-1024.

הוכחה באינדוקציה על-סמך מסקנותיו של .RP


אני אראה כי לכל x, ולכל מספר טבעי n מתקיים:

[tex]\frac{ \left((x+1)+x\right)\left((x+1)^2+x^2\right) \cdots \left((x+1)^{2^n}+x^{2^n}\right) + x^{2^{n+1}} }{ (x+1)^{2^{n+1}} } = 1 [/tex]

למעשה אראה כי:

[tex]a_n := \left((x+1)+x\right)\left((x+1)^2+x^2\right) \cdots \left((x+1)^{2^n}+x^{2^n}\right) = (x+1)^{2^{n+1}} - x^{2^{n+1}}[/tex]

בסיס האינדוקציה: נראה עבור n=0

[tex]a_0 := \left((x+1)+x\right) = 2x+1[/tex]

כמו-כן

[tex](x+1)^{2^{0+1}} - x^{2^{0+1}} = (x+1)^2 - x^2 = x^2 + 2x + 1 - x^2 = 2x+1[/tex]

שלב האינדוקציה: נניח עבור n, ונוכיח עבור n+1

[tex]\begin{center}a_{n+1} := \left((x+1)+x\right)\left((x+1)^2+x^2\right) \cdots \left((x+1)^{2^n}+x^{2^n}\right)\left((x+1)^{2^{n+ 1}}+x^{2^{n+1}}\right) = a_{n} \cdot \left((x+1)^{2^{n+1}}+x^{2^{n+1}}\right) = \left((x+1)^{2^{n+1}} - x^{2^{n+1}}\right)\left((x+1)^{2^{n+1}}+x^{2^{n+1} }\right) = \left((x+1)^{2^{n+1}}\right)^2 - \left(x^{2^{n+1}}\right)^2 = (x+1)^{2^{n+2}} - x^{2^{n+2}}\end{center}[/tex]

מ.ש.ל

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

גם אני הוכחתי את זה באינדוקציה... ואז ראיתי שהוא כתב שיש פתרון פשוט, והנחתי שזה לא זה.

כן, אני יודע כבר שזה לא הפתרון הפשוט שהוא דבר עליו, אבל החלטתי לכתוב בכל זאת

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

מעולה ברוך


גם הבאת לעצמך רמז די עבה לגבי הדרך הפשוטה יותר:

זהירות - ספויילר!

[tex](x+1)^{2^{0+1}} - x^{2^{0+1}} = (x+1)^2 - x^2 = x^2 + 2x + 1 - x^2 = 2x+1[/tex]

או כדי שתדעו במה להתמקד:

[TEX](x+1)+x=(x+1)^2-x^2[/TEX]

הפתרון (למי שמעוניין ):

זהירות - ספויילר!

כפלו את הכל ב [TEX](3-2)[/TEX] וצפו בקסם

ענק!! D:

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

I don't see it

זהירות - ספויילר!

[tex] \frac{(3-2)(3+2)(3^2+2^2)(3^4+2^4)(3^8+2^8)....(3^{512}+2^{ 512})+2^{1024}}{3^{1024}}= [/tex]

[tex] \frac{(3^2-2^2)(3^2+2^2)(3^4+2^4)(3^8+2^8)....(3^{512}+2^{512 })+2^{1024}}{3^{1024}}= [/tex]


[tex] \frac{(3^4-2^4)(3^4+2^4)(3^8+2^8)....(3^{512}+2^{512})+2^{102 4}}{3^{1024}}= [/tex]

[tex] \frac{(3^{512}-2^{512})(3^{512}+2^{512})+2^{1024}}{3^{1024}}= [/tex]


[tex] \frac{3^{1024}-2^{1024}+2^{1024}}{3^{1024}}=1 [/tex]

יפה מאוד!

תומר

תפעול מכשירים, סלולרי וגאדג'טים

החידה היא כדלהלן: יש לנו שולחן צר וארוך, ועל השולחן הולכות נמלים (לא ידוע כמה יש, או מה המיקומים ההתחלתיים שלהן). הן לא מסוגלות לפנות הצידה, כי השולחן צר; לכן הן הולכות רק קדימה ואחורה. כששתי נמלים מתנגשות זו בזו, הן פונות לכיוונים ההפוכים, אבל פרט לכך הנמלים נעות כל הזמן בקו ישר. אם נמלה מגיעה לקצה השולחן היא נופלת.

אורכו של השולחן הוא מטר, ומהירות ההתקדמות של כל נמלה היא מטר לדקה. השאלה היא: מהו פרק הזמן המינימלי שאחריו מובטח שכל הנמלים יפלו מהשולחן?

נמקו את תשובתכם

*כמה הבהרות:
1. ניתן (וצריך) להניח שהזמן שלוקח לשתי נמלים שהתנגשו להפוך כיוון הוא מיידי (0 זמן).
2. ניתן להניח שהגודל של הנמלים הוא זניח (לא יכול להיות מצב שבו חלק מהגוף של הנמלה באוויר, והחלק השני על השולחן) ואפשר להתייחס אליהם כמו אל נקודות במרחב.

זהירות - ספויילר!

אני יהמר על דקה?
אם מהירות ההתקדמות היא מטר לדקה, והזמן שלוקח לנמלים להפוך כיוון הוא 0 זמן,
ששתי נמלים מתנגשות, זה כמו שהן חלפו אחת על השניה באפס זמן.
אם ניקח את מקרה הקיצון, נמלה מתחילה מצד אחד של השולחן, לוקח לה דקה לעבור לקצה השני.

אני בכיוון?

תומר

תפעול מכשירים, סלולרי וגאדג'טים

זהירות - ספויילר!

גם אני חושב שזה דקה.
בגלל שמהירות הנמלים זהה - העובדה ששתי נמלים מתנגשות ומשנות כיוון שקולה במקרה שלנו לעובדה ששתי נמלים יחלפו אחת על פני השניה (הרי זה לא באמת משנה שהנמלים התחלפו),
אז ניסוח אחר לשאלה יהיה: "מה המקסימום זמן שיקח לנמלה אחת לחצות את השולחן בהינתן מיקום אקראי של הנמלה".

שניכם צודקים!

[TEX]\begin{align*}&1+1=1+1\\&1+1=1+\sqrt{1}\\&1+1=1+\sqrt{(-1)(-1)}\\&1+1=1+\sqrt{-1}\sqrt{-1}\\&1+1=1+i^2\\&1+1=1-1\\&1+1=0\end{align*}[/TEX]

זהירות - ספויילר!

המעבר בין השורה השלישית לרביעית אינו נכון.
sqrt(a*b) = sqrt(a) * sqrt(b) qq לא מתקיים עבור מספרים שליליים.

יאפ..

אל תקלקל, זאת הייתה קלה....

צודק, אני אחפש מתישהו חידה ראויה

גם אתה מוזמן להוסיף P:

נתון מלבן. מתברר שניתן לחלק מלבן זה למלבנים קטנים יותר, כך שלכל מלבן קטן יש לפחות צלע אחת שהאורך שלה הוא מספר שלם.

הוכיחו שגם למלבן המקורי יש לפחות צלע אחת שהאורך שלה הוא מספר שלם.

שאלה:

כדי לפתור את החידה נדרש ידע מתמטי ברמה אקדמאית?

לא.

הדבר הראשון שקפץ לי לראש הוא "אינדוקציה" על מס' המלבנים הקטנים.


סקירה כללית של הרעיון:

בסיס האינדוקציה: מלבן שלא מחולק כלל, ברור שמקיים את התנאי.

הנחת האינדוקציה: נניח שכל מלבן שמחולק ל-n ומטה מלבנים מקיים את התנאי

שלב האינדוקציה: נוכיח עבור מלבן המחולק ל-n+1 מלבנים. נסתכל על מלבן קטן באחת מפינותיו, אחת הצלעות שלו היא באורך מס' שלם, נניח.
נחתוך רצועה מהמלבן הגדול ברוחב אותה צלע של המלבן הקטן, כלומר נחתוך החוצה את המלבן הקטן והמשכו (תוך כדי יצירת מלבנים קטנים חדשים).
נקבל מלבן חדש, שצלעו האחת היא כאורך צלע המלבן המקורי, וצלעו האחרת קטנה מאורך הצלע האחרת של המלבן המקורי במספר שלם.

לפי הנחת האינדוקציה, המלבן החתוך מקיים את התנאי(*), כלומר אם לכל המלבנים הקטנים המרכיבים אותו צלע שלמה(**), אזי גם לו יש צלע באורך שלם, ומכאן שגם למלבן הגדול המקורי. (בהתאם לנאמר לעייל)


נשאר להוכיח 2 דברים:
(*)למה המלבן הקטן מקיים את התנאי: צריך להראות שהמלבן החתוך מורכב מ-n ומטה מלבנים קטנים.
כשחתכנו את הרצועה החוצה מהמלבן הגדול, חתכנו את כל המלבנים לאורכו, כל מלבן קטן שגולש מעבר לרצועה הזאת נחתך ל-2 מלבנים קטנים, חלק אחד יצא החוצה וחלק אחד נשאר בפנים. כלומר חיתוך מלבנים אלה לא יצר לנו מלבנים עודפים.
מעבר לכך, כל מלבן באורך הרצועה או פחות ממנה, נחתך החוצה ללא שום שאריות, ומכיוון שאנו התחלנו עם המלבן הקטן הפינתי, אנו יודעים שלפחות הוא נחתך החוצה, כלומר במלבן החתוך יש לפחות מלבן אחד קטן פחות מאשר במלבן הגדול המקורי. משמע הוא מורכב מ-n ומטה מלבנים קטנים.

(**)צריך להראות למה בכל המלבנים הקטנים המרכיבים את המלבן החתוך יש צלע באורך שלם.
ובכן, כל המלבנים הקטנים שהיו במלבן המקורי מקיימים זאת. נבחן כעת באופן כללי מלבן קטן חדש שנוצר מהחיתוך.
מלבן כזה נוצר מחיתוך מלבן גדול יותר שגלש מעבר לרצועה, למלבן הזה הייתה צלע אחת באורך שלם, אילו הצלע הזאת הייתה המקביל לחיתוך הרצועה, אזי זו צלע משותפת גם לחלק החתוך שנשאר, ואילו מדובר בצלע הניצבת לכיוון החיתוך, אזי היא גדולה משארית הצלע במספר שלם (רוחב הרצועה).
בכל מקרה מתקבל שלמלבן קטן כזה הנוצר מהחיתוך גם יש צלע באורך שלם.

אילו היה לי כח, הייתי מוסיף תמונות להמחשת העניין


התכוונתי לכתוב סקירה כללית של ההוכחה ובסוף גלשתי לפירוט מלא..
אני משער שבטח יש פה ושם כמה נקודות שפספסתי וההוכחה לא שלמה.





עריכה: כבר עליתי על נקודה שפספסתי..
"ואילו מדובר בצלע הניצבת לכיוון החיתוך, אזי היא גדולה משארית הצלע במספר שלם (רוחב הרצועה)." - הנחתי פה שהמלבן שנחתך התחיל מקצה המלבן הגדול, כלומר שרוחב הרצועה מוכל בו, למרות שיכול להיות שיש בינו לבין הקצה עוד מלבנים מפרידים

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

דוגמת נגד לשלב האינדוקציה:


המלבן המסומן הוא המלבן שבחרנו ואנחנו חותכים את הרצועה כך שהיא חותכת את המלבנים איפה שמסומן הקו האדום.

קל לראות שבמלבן החדש שקיבלנו, יש שני ריבועים שאורך צלעם 0.5, כלומר לא ניתן להשתמש בטענת האינדוקציה עבור המלבן החדש.

אני אתחיל בלציין שזו חידה מאוד מפורסמת בחוגים מתמטיים, ויש לה הרבה מאוד פתרונות אלגנטיים שעושים שימוש בכל מיני תחומים.
הרמז שאני נותן הוא רמז עבה מאוד שמכוון לפיתרון אלמנטרי מסויים שאני מכיר ומאוד אוהב.

הרמז הוא:

זהירות - ספויילר!

השתמשו בצביעת לוח שחמט של המישור

אני יודע עכשיו איך לפתור בעזרת הרמז שלך, אבל זה כי כבר הראו לי פתרון דומה המשתמש באנליזה

אם לא יענו על החידה בימים הקרובים אז אספק את הפתרון

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

מניחים את המלבן הגדול על לוח שח-מט שכל משבצת בו באורך חצי (מצמידים קודקוד של המלבן לראשית הצירים כאשר צלעותיו מקבילות לצירים).

נתבונן על מלבן קטן כלשהו: נתון לנו שצלע אחת שלו שלמה, ולכן - תמיד יהיה מספר זוגי של חצאים צמודים לצלע,
בצורה זו לא משנה מה יהיה אורך הצלע השניה, היחס בין שטח המשבצות השחורות לשטח המשבצות הלבנות ישאר תמיד 1:1.
בנוסף, קל גם לראות שאין חשיבות למיקום המלבן הקטן על הלוח (השטחים תמיד ישלמו לאותו היחס).
אפשר לנסח את הטענה כך "אם קיימת צלע שלמה במלבן, בהכרח יחס השטחים שווה".

מכיוון שהמלבן הגדול מורכב מסכום השטחים של המלבנים הקטנים היחס ישאר בו גם כן 1:1.

כעת, עבור המלבן הגדול, נשאר להוכיח את הטענה ההפוכה, "אם יחס השטחים שווה, בהכרח קיימת צלע שלמה במלבן".

נקווה להיכשל בנסיון להוכיח שיש מצב בו השטחים שווים כאשר הצלעות לא שלמות, וזה יביא אותנו ישירות לטענה הנ"ל:
נפרט על המצבים בהם יש חלק מיותר (שנשאר לאחר הערך השלם של הצלע) שמפר את האיזון בין השטחים (סומן בכחול):

מצב 1:

שתי הצלעות של החלק המיותר קטנות או שוות לחצי, רואים שהחלק מפר את האיזון.

מצב 2:

צלע אחת גדולה מחצי והשניה קטנה מחצי, השטח הלבן יהיה x כפול חצי, ואילו השטח השחור יהיה x כפול מספר קטן מחצי. אין כאן איזון.

מצב 3:

החלק הזה דורש הוכחה קצרה: שתי הצלעות גדולות מחצי, ולכן נסמן צלע אחת כ-a ואת השניה כ-b.
השטח הלבן יהיה: [tex]\frac{1}{4}+(a-\frac{1}{2})(b-\frac{1}{2})[/tex]
השטח השחור יהיה: [tex]\frac{1}{2}(a-\frac{1}{2})+\frac{1}{2}(b-\frac{1}{2})[/tex]
ננסה להשוות את השטחים:

[TEX]\frac{1}{4}+(a-\frac{1}{2}) (b-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}(a-\frac{1}{2})+\frac{1}{2}(b-\frac{1}{2})[/TEX]

[TEX]\frac{1}{4}+ab-\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}b+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}(a+b-1)[/TEX]

[TEX]ab-a-b+1=0[/TEX]

[TEX] (a-1)(b-1)=0[/TEX]

הפתרון למשוואה אפשרי רק אם אחת הצלעות שווה ל-1, מה שסותר את ההנחה שהצלעות לא שלמות.
מכאן שלמלבן הגדול לפחות צלע אחת שלמה.

מ.ש.ה (מה שברוך הוכיח)

ציטוט:

במקור נכתב על ידי fap מ.ש.ה (מה שברוך הוכיח)

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

יפה מאוד.
אחת החידות היפות שאני מכיר..

ישנם 1000 אסירים בבית כלא.
נאמר להם שהחל ממחר, יחלו להכניס אסירים, אחד-אחד, בצורה אקראית לחדר קטן. לאחר השהות בחדר יצא ממנו האסיר.
האסירים לא יהיו מודעים למי מחבריהם נכנס לחדר או לא ובהחלט ייתכן שאסיר ייבחר יותר מפעם אחת.

הדבר היחיד שמותר לכל אסיר לעשות הוא להדליק או לכבות את האור בחדר.

ידוע שכרגע האור כבוי.

מובטח לאסירים שאם אסיר כלשהו יצהיר נכונה כי כל אחד מ-1000 האסירים כבר ביקר בחדר לפחות פעם אחת, כולם ישוחררו. אם יטעה, כולם יוצאו להורג.
האסירים יושבים להם מהרגע בו נמסרה ההודעה הזו, ועד למחרת בבוקר - היום בו ייבחר האסיר הראשון, וזאת בכדי לתכנן אסטרטגיה שתאפשר להם לעמוד במשימה, ולחזור הביתה.

מצא את *האסטרטגיה הנדרשת.

*(לצורך העניין נניח שהאסירים לא מזדקנים לעולם ויש להם זמן אין-סופי לביצוע האסטרטגיה).

ציטוט:

במקור נכתב על ידי fap האסירים לא יהיו מודעים למי מחבריהם נכנס לחדר או לא..

הם יכולים אבל לדעת פרטים אחרים? כמו האם האור בחדר דלוק או לא בלי לבקר בו? כלומר, אם אסיר א' נכנס ורואה אור, האם רק הוא יודע זאת או גם השאר? הם יכולים למנות כמה הדלקות/כיבויים היו באופן כללי?
הם יודעים כמה אסירים הוכנסו כבר לחדר בכל זמן נתון?

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

הם בוחרים אסיר כלשהו שהתפקיד שלו יהיה להדליק את הנורה כל פעם שנכנס.
כל השאר מכבים אותה פעם אחת בלבד במהלך כל הכניסות שלהם, אם רואים אותה דולקת.
ברגע שהאסיר הנבחר יגיע ל-100 הדלקות הוא יכול להכריז שכולם כבר נכנסו.

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

בינגו

כמו שאמרתי, לא קשה

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

. . . .
. . . .
. . . .
. . . .

יש להוריד סה"כ 4 נק' כך שיהיה מספר שווה של נקודות בכל שורה, טור ואלכסון.

אנא השתמשו בתגית ספוילר

זהירות - ספויילר!

. . . .
. . . .
. . . .
. . . .

. . . .
. . . .
. . . .
. . . .

. . . .
. . . .
. . . .
. . . .

. . . .
. . . .
. . . .
. . . .

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

צריך לחסום אותך מהאשכול הזה

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

חשבו את ערך הביטוי הבא:

[TEX]\sum\limits_{k=0}^{90} sin^2(k)=?[/TEX]

91/2

פרט נמק והסבר

אמא אומרת שאני לא חייב הסברים לאף אחד

ציטוט:

במקור נכתב על ידי fap חשבו את ערך הביטוי הבא: [TEX]\sum\limits_{k=0}^{90} sin^2(k)=?[/TEX]

(sin(x))^2) = (1/2) (1-cos(2x)
כשמדובר בסכום, ניתן להוציא קבועים מחוצה לו.
(כיוון שאינני מתמצא בלטקס, אסמן באות אס את הסיגמא)
בנוסף ידוע כי מתקיים:
cos(x) = -cos (PI-x) ==> cos(x) + cos (PI-x)= 0
ולכן
1/2 * S[0-90] (1-cos(2k)) = (1/2) * ((1*91) + -( S[0-44](cos(2k)) + cos(2*45) + S[46-90](cos(2k))) = 45.5 + -( S[0-44](cos(2k)) + 0 + S[46-90](cos(2k)) = 45.5 - ( 0 + 0)= 45.5

מקווה שאין לי טעויות, ההודעה נכתבה מהאייפון וזה לא פשוט

בעריכה: אוסיף כי
S[0-44](cos(2k)) + 0 + S[46-90](cos(2k)) = 0
כיוון שהוא מכיל זוגות של מספרים שמבטלים אחד את השני.
ניקח את האינדקס הראשון:
cox (0) + cos (PI) = 1 + (-1) = 0.
cos(2) + cos(178) = 0
...
cos(88) +cos(92) = 0

ונותר האיבר הבודד שהוא
cos(90)
לו אין זוג...
והוא שווה לאפס זהותית.

אני חושב שהתבלבלת שם קצת עם הזהויות... למרות שהגעת לתשובה נכונה

הפתרון שהתכוונתי אליו קצת פחות מסובך משלך, והוא נעשה בעזרת הזהויות הבאות:

[tex]sin^2(x)+cos^2(x)=1[/tex]

[TEX]sin(x)=cos(90-x)[/TEX]

ומשילוב הזהויות:

[TEX]sin^2(x)+sin^2(90-x)=1[/TEX]

יש 45 זוגות של זוויות שמשלימות ל-90.

ובנוסף יש את: [tex]sin^2(45)=\frac{1}{2}[/tex]

סה"כ 45.5

נכתב 2PI במקום PI. הדבר לא השפיע על החישוב...

תוקן והובהר

בארבע פינותיו של ריבוע באורך 10ס"מ ניצבים להם ארבעה פשפשים, התנועה היחידה שהפשפשים יכולים לעשות היא לקפוץ מעל חבריהם למרחק כפול מהמרחק שביניהם, כלומר שאם פשפש א' נמצא 10ס"מ מאחורי פשפש ב', אז לאחר הקפיצה הוא יימצא 10ס"מ לפניו.
תארו סדר ניתורים של הפשפשים (לאו דווקא במקביל לצירים), כך שבסיומו הפשפשים יימצאו בפינותיו של ריבוע בעל אורך כפול (20ס"מ).
האם זה בכלל אפשרי?

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

לא אפשרי.
כל סדרת קפיצות של הפשפשים היא הפיכה, רוצה לומר, ניתן לבצע כל קפיצה גם בכיוון נגדי.
אתקוף את הבעיה בכיוון ההפוך, אם כן.
לו היה ניתן להגיע לריבוע גדול יותר, משמע, היה ניתן להגיע לריבוע קטן יותר, ברם המרחק המינימלי בין הפשפשים הוא 10 ס"מ.

נכון מאד
רק שהטענה האחרונה שלך דורשת הסבר קטן לדעתי, למה לא ניתן להגיע למרחק פחות מהמרחק ההתחלתי?


עריכה: טוב, אני אסביר את החלק האחרון
אם נניח שהריבוע נמצא על ריבוע היחידה במערכת צירים קרטזית, אזי כל קפיצה של פשפש תוביל אותו לנק' בעלת קואורדינטות שלמות
(בניסוח של מרוכבים אפשר לומר שהפשפשים מקפצים להם בחוג השלמים של גאוס)

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

מניחים את ארבעת הפרעושים על לוח שח-מט במרכזן של 4 משבצות צמודות:



במצב ההתחלתי שני פרעושים יהיו על משבצות לבנות ושני פרעושים על משבצות שחורות.
כדי להכפיל את גודל הריבוע על ארבעת הפרעושים יידרש להיות על משבצות מאותו הצבע.

ניתן בקלות לראות שלאחר קפיצה ישאר פרעוש על משבצת בצבעה המקורי.

לכן לא אפשרי

פתרון מבריק!

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

נתון פוליגון מסויים ונקודה מסויימת, האם וכיצד ניתן לדעת אם הנקודה נמצאת בתוך הפוליגון או מחוצה לו (פתרון אלגוריתמי).

במרחב או במישור?

נסמן את הנקודה ב-p, ואת קודקודי הפוליגון ב- [TEX]a_0, a_1, a_2, ..., a_n[/TEX] נגד כיוון השעון.

אפשר לראות שכל צלע בפוליגון מונחת על ישר המחלק את המישור לשני חלקים - איפה שהפוליגון נמצא ואיפה שלא נמצא.
אם נבדוק עבור כל צלע שהנקודה נמצאת בכל פעם בחלק של המישור שמכיל את הפוליגון, הצלעות למעשה חוסמות אותה בתוך הפוליגון.

נבנה פעולה F שמקבלת שני וקטורים A ו-B, ובודקת אם ערך ה-Z בנורמל שלהם חיובי או מתאפס:

קוד:

bool F(Vector a, Vector b)
{
	 return a.x * b.y - b.x * a.y >= 0;
}

אם הבדיקה עוברת למשל עבור הוקטורים [TEX]\vec{pa_3}[/TEX] ו- [TEX]\vec{a_2a_3}[/TEX] , הנקודה נמצאת בחלק של המישור המכיל את הפוליגון או על הצלע בדיוק.
הבדיקה אמורה להתקיים עבור כל k מ-0 עד n-1:

[tex]F( \vec{pa_{k+1}} , \vec{a_{k} a_{k+1}}) == true [/tex]

ובנוסף בדיקה אחרונה:

[TEX]F( \vec{pa_{0}} , \vec{a_{n} a_{0}}) == true [/TEX]

(אפשר היה לעשות את הלולאה עד n ולהגדיר את הנקודה הבאה בפוליגון כ [TEX](k+1) mod(n+1)[/TEX] )

מקווה שהכל ברור ולא טעיתי איפשהו

אין לי כל כך זמן לבדוק את זה, אבל אני חושב שזה לא עובד.
דוגמא נגדית (שלא נבדקה!):
[tex]p=(0,1),a_1=(0,-5),a_2=(1,0),a_3(0,1),a_4=(1,2),a_5=(-1,2),a_6=a_1[/tex]

עבור פוליגון קמור זה אמור לעבוד.

עריכה: גם במקרה יצא שעבור הדוגמה הזאת הבדיקה נכונה

חשבתי שזו חידת מדמ"ח, הרעיון הזה לקוח היישר מהפרוייקט שבניתי בתיכון
שם היה צריך להתחשב רק בפוליגונים קמורים.

אני אנסה לחשוב איך להתאים את זה גם לקעור.

נחסום את הפוליגון במרובע (נמצא את המקסימום בכל אחד מהכיוונים), וניצור קו (לא משנה באיזה כיוון, אבל לצורך העניין קו ישר כלפי מעלה) עד שנגיע לנק' שנמצאת מחוץ למלבן שיצרנו.
אח"כ עבור כל זוג קודקודים שכנים בפוליגון (או במילים אחרות עבור כל צלע) נבדוק האם היא חותכת את הישר שבנינו או לא, ונספור את כמות הצלעות שנחתכות עימו.
אם המספר הוא אי-זוגי אזי הנק' נמצאת בתוך הפוליגון, אחרת היא מחוץ לפוליגון.

עריכה: הפתרון שלך לא עובד במקרה שהקו עובר בדיוק בקודקוד, זה יוסיף לך 1+ לצלעות שאתה עובר דרכן למרות שכביכול עברת ב2 צלעות.

לדוגמא, נגיד וערך ה-X של הנק שלך הוא בדיוק ערך ה-X של קודקוד של מצולע מסויים שנמצא מעל או מתחת לנק, ואתה מותח קו שיעבור בקודקוד של המצולע. יהיה לך מספר אי זוגי של צלעות (1) למרות שהנק היא מחוץ למצולע.

לא הבנתי את הבנייה של הישר, ואיך הוא תלוי בנקודה שנתונה לנו...

הישר יוצא מהנקודה הנתונה וממשיך עד שיוצא מהמרובע שהוא בנה סביב הפוליגון.

אה, יפה

וכן, זה לא יעבוד אם זה עובר דרך קודקוד בדיוק.

(לא קשה במיוחד)

כתוב פעולה המקבלת שני מספרים שלמים בטווח 0-10 (לא כולל הקצוות) - לשם האחידות נקרא להם d ו- n כך שd>n.

רשום את תוצאת החלוקה העשרונית של n/d. אם התוצאה מחזורית, תחם את המחזור בסוגריים (אין צורך להדפיס את אותו רצף יותר מפעם אחת)

G'luck.

זהירות - ספויילר!

קוד PHP:

 import java.util.*;
public class Gamma1

{

    public static void PrintDec(int d, int n)
    {
        boolean repeat=false;
        int devision;
        String str1 = "0."; // always the same start
        Vector<Integer> dev = new  Vector<Integer>();
        while (n!=0) // as long as I have to divide something
        {
            devision = n*10/d; // computates next dec digit
            repeat = dev.contains(devision); // checks whether the specific does has already added
            if (repeat)
                break; // I'm out of here
            dev.add(devision); // add to DB
            str1+=devision; // Concatenates
            n=(n*10)%d; // move to rest
        }
        String toAdd=str1.substring(2); // digits only
        if (repeat) // if circulating
            str1 = "0.("+toAdd+")"; // limit in parentheses
        System.out.print(str1);
    }
    
    public static void main (String [] args)
    {
        Scanner rd = new Scanner(System.in);
        System.out.println("Enter 2 digits from 1-9");
        PrintDec(rd.nextInt(),rd.nextInt());
    }
}