כמה מספרים מספרים של 8 ספרות כוללים בדיוק 3 ספרות שונות?

חשבתי לחלק את הבעיה ל-2 לחשב סה"כ ואז להוריד את מה שמתחיל ב-0.

חישבתי את מספר האפשרויות לבחור 3 מספרים מתוך עשר ובאתי להכפיל במספר האפשרויות לסדר אותם וכאן נתקעתי.

אם יש לי 3 מספרים איך אני יודע כמה אפשרויות יש לי לסדר אותם במילה של 8 ספרות?

קודם כל נעשה כמוך, נבחר 3 מספרים מתוך 10, אח"כ כדי לסדר אותם נייצר התאמה חח"ע לבעייה הבאה: לסדר 8 כדורים זהים ב-3 תאים שונים, כאשר בכל תא יש לפחות כדור אחד.
אזי קודם כל נשים כדור אחד בכל תא, נשארנו עם 5 כדורים ו-3 תאים: [tex]CC^{5}_3[/tex]
לכן סה"כ:

[tex]\binom{10}{3}\cdot CC^{5}_3[/tex]

אני לא חושב שזאת אנלוגיה נכונה.


בדוגמה עם הכדורים אתה בעצם סופר כמה כדורים יש בכל תא (כמה פעמים מופיע כל מספר במילה)

אבל זה לא סופר את האפשרויות לסדר אותם.

למשל שלושת המספרים שלי הם 1,2,3

11122333, 22111333, 1212133 וכו... כל אלא יחשבו לאותו סידור אבל הם לא.

ואתה כמובן צודק...
אפשר לפתור את זה עם הכלה והפרדה...להגדיר את העולם להיות כל המילים הטרינריות באורך 8 ([tex]3^8[/tex])

ואז תכונות רעות
p1 - המספר הראשון לא מופיע
p2 - המספר השני לא מופיע
p3 - המספר השלישי לא מופיע

ומכאן זה כבר טכני.
אני מודה - זה לא פיתרון יפה (הכלה והפרדה זה אף פעם לא יפה), אבל הוא צריך להיות נכון.

האמת שבמחשבה שנייה אפשר לפתור את כל התרגיל (כולל הבחירה של ה-3 מספרים) עם הכלה והפרדה...

חשבתי שזה עם הכלה והפרדה אבל לא ידעתי איך להגדיר קבוצות.

לפי הבחירה שאתה עשית:
P1 למשל, יש לי 2 מספרים שמהם אני צריך לבנות מילה בת 8 אותיות (וזה מחזיר אותי לבעיה שהיתה לי פשוט בסדר גודל יותר קטן).

כאן זה אומנם פשוט כי אני יכול פשוט לעבור על כל האופציות (מספר ראשון מופיע פעם 1 מספר שני 7, מספר ראשון מופיע פעמיים מספר שני 6, מספר ראשון מופיע 3 פעמים מספר שני 5 וכו...)

אבל אם היו משנים קצת את השאלה למשל ל- כמה מספרים מספרים של 8 ספרות כוללים בדיוק 4 ספרות שונות?
אז היתי יורד מ-4 ל-3 ושוב היתי בבעיה (אלא אם היתי אחרי זה בעזרת הכלה והפרדה יורד ל-2 אבל זה כבר נעשה ממש ארוך).

או שאני מפספס משהו?

לא כל כך הבנתי את מה שאמרת....
נניח בחרת 3 מספרים מתוך 10.
ועכשיו אנחנו מתמקדים בבעיה של כמות המספרים באורך 8 המורכבים מ-3 ספרות שכל ספרה מופיעה לפחות פעם אחת.
הגדרנו את העולם שלנו להיות כל המילים הטרינאריות באורך 8: [tex]w_(_0_)=3^8[/tex]
והגדרנו את התכונות שלנו להיות Pi - המספר ה-i לא מופיע במספר (כאשר i נע בין אחד ל-3).
ועכשיו זה כבר עבודה די טכנית:
[tex]w_(_p_1_)=w_(_p_2_)=w_(_p_3_)=2^8 \Rightarrow w_(_1_)=\binom{3}{1}\cdot 2^8[/tex]
[tex]w_(_p_1_p_2_)=w_(_p_1_p_3_)=w_(_p_2_p_3_)=1 \Rightarrow w_(_2_)=\binom{3}{1}[/tex]
[tex]w_(_p_1_p_2_p_3_)=w(3)=0[/tex]
עכשיו פשוט תחשב את [tex]E_(_0_)[/tex] ותכפול ב-[tex]\binom{10}{3}[/tex]

אם בא לך לעשות את זה יותר כללי (וזה גם הפיתרון היותר מוצלח לטעמי) אז תגדיר את העולם שלך להיות כל המילים העשרוניות האפשרויות באורך 8.... [tex]W_(_0_)=10^8[/tex]
תגדיר את התכונה הרעה Pi - המספר ה-i (כאשר i בין 0 ל-9) לא מופיע במספר.
ועכשיו אתה צריך למצוא את [tex]E_(_7_)[/tex] שמוגדר להיות כל האיברים שמקיימים בדיוק 7 תכונות....
כאשר [tex]W_(_i_)=\binom{10}{i}(10-i)^8[/tex]

עריכה - כדי להיות בטוח עשית בדיקה של שתי השיטות, וקיבלתי את אותה התוצאה בדיוק :
695520
דרך א':

http://www.wolframalpha.com/input/?i=(Binomial[10,+3])*(3^8-3*2^8%2B3)

דרך ב':

http://www.wolframalpha.com/input/?i=Sum[((-1)^(r-7))*(Binomial[r,+7])*(Binomial[10,+r])*(10-r)^8,+{r,+7,+10}]

תודה לך, רק נשאר להכפיל ב 10\9 כי אסור שיהיה 0 בהתחלה.

אגב שמתי לב שהסימונים שלך שונים לגמרי מהסימונים שאני רגיל אליהם, מוזר שאין סטנדרט קבוע לזה.

איפה אתה לומד?

bgu