אני צריך למצוא סכום של הטור הבא:
[tex]\sum _{n=1}^{\infty } \frac{x^{2n-1}}{2n-1}[/tex]


זה מה שעשיתי:

[tex]f'(x)=\sum _{n=1}^{\infty } x^{2n-2} = \left(\frac{x}{1-x}\right)^2 * \frac{1}{x^2}=\frac{1}{(1-x)^2}[/tex]

[tex]f(x)=\int \frac{1}{(1-x)^2} \, dx = \frac{1}{1-x}[/tex]

וזאת לא התשובה, האם זאת לא הדרך?

יש לך טעות בחישוב סכום הטור של הנגזרת:
[tex]f'(x)=\sum _{n=1}^{\infty } x^{2n-2} = \left(\frac{x^2}{1-x^2}\right) * \frac{1}{x^2}=\frac{1}{1-x^2}[/tex]

ומכאן אני בטוח שאתה תסתדר לבד...

אז יש לי יותר טעות בהבנה..
אתה יכול להסביר לי איך זה עובד.

אני מכיר את הנוסחה:
[tex]\sum _{n=1}^{\infty } x^n=\frac{x}{1-x}[/tex]

אז פשוט הפעלתי אותה כך:
[tex]\sum _{n=1}^{\infty } x^{2n}=\sum _{n=1}^{\infty } \left(x^n\right)^2=\left(\frac{x}{1-x}\right)^2[/tex]

יותר פשוט לראות את זה ככה לדעתי:

[tex]\sum _{n=1}^{\infty } x^{2n}=\sum _{n=1}^{\infty } \left(x^2\right)^n=\frac{x^2}{1-x^2}[/tex]

וזה פשוט לפי הנוסחא של סכום סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת:
[tex]S=\frac{a_1}{1-q}[/tex]

תודה רבה.