ברצוני לשאול האם הקבוצה הבאה היא תת מארחב של R^3

הקבוצה:
סכום כל 3 איברים ב R שווה לאפס

אתה מתכוון כנראה לקבוצת הוקטורים ממימד 3, שסכום הרכיבים שלהם (הממשיים) הוא 0
זו כמובן תת-קבוצה של [TEX]\mathbb{R}^3[/TEX], וכל שיש לבדוק הם סגירות לחיבור ולכפל בסקלר

נניח כי [TEX]\begin{bmatrix} a_1\\a_2\\a_3 \end{bmatrix}[/TEX] ו-[TEX]\begin{bmatrix} b_1\\b_2\\b_3 \end{bmatrix}[/TEX] הם וקטורים בהקבוצה, ו-r מספר ממשי
מכיוון שהוקטורים בקבוצה, הם מקיימים את התנאי שלה, כלומר: [TEX]a_1+a_2+a_3=0[/TEX] וכן [TEX]b_1+b_2+b_3=0[/TEX]

בעזרת חוק הקיבוץ וחוק הפילוג מבצפר יסודי נקבל:
[TEX](a_1+b_1) + (a_2+b_2) + (a_3+b_3) = (a_1+a_2+a_3) + (b_1+b_2+b_3) = 0+0 = 0[/TEX]
ו-[TEX](r\cdot a_1) + (r\cdot a_2) + (r\cdot a_3) = r\cdot (a_1+a_2+a_3) = r\cdot 0 = 0[/TEX]

כלומר גם סכום הוקטורים והכפלתם בסקלר מקיימים את התנאי ולפיכך נמצאים בקבוצה
ומכך שהקבוצה סגורה לחיבור וכפל בסקלר (ואינה ריקה) נובע שהיא תת-מרחב

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.