להלן השאלה הבאה-



אני רוצה להגיד משהו בסגנון הבא: אם [TEX] v_3 [/TEX] לא שייך למרחב שנפרש על ידי שני הווקטורים האחרים, הרי שהוא אינו צירוף ליניארית של שניהם, אולם אם הקבוצה תלויה ליניארית אחד הוקטורים [TEX] {v_1, v_2} [/TEX] צריך להיות צירוף ליניארית של האחרים.

אולם, אם אחד מהם הוא צירוף ליניארי של השניים האחרים, הרי ש[TEX] v_3 [/TEX] בכל זאת שייך למרחב שנפרש על ידי השניים האחרים. לכן אפשרי רק שאחד משני הווקטורים שווה לווקטור השני כפול סקלר.

השאלה היחידה היא- האם הטיעון הזה נכון?

זה רק טיעון אינטואיטיבי, עדיין צריך להוכיח אותו פורמלית

התחל מהגדרת התלות הלינארית, הוקטורים הנ"ל תלויים לינארים אומר שמתקיים:
[TEX]a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3 = 0[/TEX] כאשר לא כל הסקלרים [TEX]a_i[/TEX] שווים לאפס


בוא נניח ש-[TEX]a_3[/TEX] הוא הסקלר השונה מאפס, אם כן:

[TEX]a_1v_1+a_2v_2 = -a_3v_3[/TEX]

[TEX]-\frac{a_1}{a_3}v_1+-\frac{a_2}{a_3}v_2 = v_3[/TEX] (ניתן לחלק בו כי הנחנו שהוא שונה מ-0)

אך זו בדיוק הצגה של [TEX]v_3[/TEX] כצירוף לינארי של השאר, ועל-פי הנתון דבר זה לא ייתכן, ועל-כן [TEX]a_3=0[/TEX]


אם כך קיבלנו ש-[TEX]a_1v_1+a_2v_2 = 0[/TEX], שוב כאשר לא כל הסקלרים [TEX]a_i[/TEX] שווים לאפס
מכאן כבר די ברורה הטענה:

[TEX]a_1v_1 = -a_2v_2[/TEX]

אם נניח ש[TEX]a_2[/TEX] שווה לאפס, אז נקבל ש-[TEX]v_1[/TEX] עצמו שווה לוקטור האפס, בסתירה לנתון שכל הוקטורים שונים מ-0
ולכן הוא שונה מאפס, ואז פשוט נחלק בו ונקבל את הטענה כאשר [TEX]k = -\frac{a_1}{a_2}[/TEX]

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

נו, הייתי בכיוון .

תודה רבה על העזרה שובי, הנה עוד אות הוקרה (אחד הגדולים)-

ולול

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.