נתונה השאלה הכיפית הבאה:


אני חייב להודות שהמושג צירוף לינארי לא הוסבר לנו בהרחבה (או כלל), אז אני קצת יורה באפלה פה.
לפי מה שהבנתי הכוונה לרצף של פעולות "יסודיות" (החלפת מקומות, כפל בסקלר, הוספת שורה אחרת כפול סקלר כלשהוא) על העמודות/שורות של המטריצה וע"י כך להעבור מהמטריצה Amxn למטריצה b (שהיא מטריצת עמודה אחת בודדת).
ועכשיו במעמד חגיגי זה נעשה ניסיון בlatex ונראה איך זה הולך..

[tex](Ax)_i_1=a_i_1*x_1_1+a_i_2*x_2_1+...+a_1_n*x_n_1= \sum_{k=1}^N a_i_k*x_k_1=b_i_1[/tex]

וזה כמובן שווה למטריצה
b
זה הנתון שלנו - אני כותב בכמה שורות כי יש לי בלאגן בעברית/אנגלית

לכן אפשר להגיד שכל איבר במטריצה (עמודה) של
b
שווה לסכום של כל איבר בעמודה i
של מטריצה A
כפול הסקלר Xi
מש"ל
או משהו כזה
יש לי בעיה בהוכחות במטריצות, אני הרבה פעמים מרגיש שהדרך נכונה, וגם התוצאה, וברור לי למה הטענה שהיית צריך להוכיח מתקיימת, אבל קשה לי להראות את זה בניסוח מתמטתי מדויק, ומשום מה יש לי תחושה שזה לא יתקבל בחיוב במבחן הקרב ובא.

אין צורך לציין שהשאלה שלי מתייחסת רק לסעיף א', שער הסעיפים נובעים ממנה...

צירוף לינארי הוא ביטוי, סכום של וקטורים שכל אחד מהם מוכפל בסקלר כלשהו
מה שצריך להראות לדוגמא בשאלה הראשונה הוא ש-b הוא סכום של עמודות המטריצה A (עמודת מטריצה היא למעשה וקטור) כאשר כל עמודה מוכפלת בסקלר כלשהו (למעשה הסקלר הוא הרכיב המתאים לה ב-x)

יש מספר דרכים לפתרון
אם אתה מקבל סימונים מקוצרים אז ניתן לכתוב:
[TEX]A = \left(A^1,A^2,\dots,A^n\right)[/TEX] כלומר מתייחס ל-A כאל וקטור שורה שכל רכיב בו הוא וקטור עמודה
(עמודות המטריצה A אני מסמן ב-[TEX]A^1,A^2,\dots,A^n[/TEX], בעוד שורות A ב-[TEX]A_1,A_2,...,A_n[/TEX])
אם כך התשובה ניתנת ישירות, שכן: [TEX]b = A\cdot x = \left(A^1,A^2,\dots,A^n\right)\cdot x = A^1\cdot x_1 + A^2\cdot x_2 + \dots + A^n\cdot x_n[/TEX]
מה שאומר ש-b הוא צירוף לינארי של העמודות

איני יודע אם המתרגלים אצלכם יקבלו את התשובה הזאת, לכן לדעתי עדיף ללכת דרך וקטורי היחידה הסטנדרטיים:
[TEX]e_i=\begin{pmatrix} 0\\\vdots\\1\\\vdots\\0 \end{pmatrix}[/TEX] כאשר ה-1 במקום ה-i
אם כופלים מטריצה בוקטור כזה מימין, מתקבלת העמודה ה-i של המטריצה (נסה ותיווכח!). כלומר: [TEX]A\cdot e_i = A^i[/TEX]
לעומת זאת, כל וקטור עמודה ניתן להצגה כצירוף לינארי שלהם, כאשר כל רכיב מוכפל בוקטור המתאים
ולפיכך: [TEX]b = A\cdot x = A\cdot \left(e_1\cdot x_1 + e_2\cdot x_2 + \dots + e_n\cdot x_n}\right) = A\cdot e_1\cdot x_1 + A\cdot e_2\cdot x_2 + \dots + A\cdot e_n\cdot x_n}\right) = A^1\cdot x_1 + A^2\cdot x_2 + \dots + A^n\cdot x_n[/TEX]
ושוב הגענו לצירוף לינארי של העמודות


לגבי הסעיף השני אתן לך רמז די עבה, נסה לראות מה אתה מקבל כשאתה מכפיל מצד שמאל של המטריצה אחד מוקטורי היחידה הנ"ל רק בצורת וקטור שורה
(היינו [TEX]e_i=\left( 0,\dots ,0,1, 0, \dots ,0 \right)[/TEX] כאשר שוב כמובן ה-1 במקום ה-i)


סעיף ג נובע כמעט ישירות מהשניים הקודמים

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.