אני נדרש לפתור את המשוואה הבאה:



אולם חיסור בין מספר לצמוד שלו נותן את החלק המדומה, שלא אפשרי שיהיה שווה למס' ממשי (בחלק המדומה הכוונה למספר כפול i).

או שאולי אני מתבלבל במושגים? תודה מראש על העזרה.

מה הפיתרון הסופי?

לא פתרתי עד הסוף אבל בהתחלה הפכתי לצורה הפולרית (r<teta) ומשם זורם...

בהצגה הפולרית בסופו של דבר מתמודדים עם חלק מדומה שווה למס' ממשי וזה לא נראה לי הגיוני.

יצא לי מספר מרוכב ששווה ל"מספר ממשי" (שאפשר לייצג אותו כמספר מרוכב כאשר i נכפל פי 0):

קוד:

r^9<(9*teta) - r^9<(-9*teta) = 9 * r^4

r^9 * Cos(18*teta) + i * r^9 * Sin(18*teta) = 9 * r^4

התשובה שיצאה לי זה:

קוד:

teta = 0
r=9^(1/5)

כיצד הגעת למשפט השני? לפי החישובים שלי נותר רק החלק המדומה, כשהחלק הממשי בZ ובצמוד שלו מקזזים זה את זה בחיסור.

סליחה אם אני מטעה, הרבה זמן לא נגעתי במרוכבים אבל אני חושב שאני זוכר.

אז קיצר זה הולך ככה:

קוד:

r^9Cis(9*teta) - r^9Cis(-9*teta) = 9 * r^4

r^9Cis(9*teta) + r^9Cis(9*teta) = 9 * r^4

// אפשר לבצע חיבור פשוט בוקטורים בעלי אותה הזוית

2 * (r^9) Cis(9*teta) = 9 * r^4

בכל מקרה שוביD כתב שזה 0, לכן כנראה שכחתי פרט(ים) חשוב(ים) במרוכבים...

בכל מקרה, איך עברת מהשורה הראשונה לשנייה?

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

אני חושב שאתה צודק, ולפיכך התשובה אמורה להיות פשוט 0

אתה בטוח שהעתקת את התרגיל נכון?
יש לך את התשובה?

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

את התרגיל העתקתי נכון ואת התשובה אין לי (עדיין, כשאגיש ואקבל בחזרה אדע מהי ).

בכדי לא להספים את הפורום היקר (בכל זאת, המנהל הוא גם הרכז), עוד שאלה במרוכבים:



עכשיו את העובדה שהערכים המוחלטים שלהם שווים אני יכול לפרש כ r=r, אותם ביטויים תחת השורש וכו' אולם השאלה היא כזו- כיצד לייצג את t ו-w בשביל להוכיח את הביטוי? ובדרך: כיצד בכלל נראת ההוכחה שמדובר במס' מדומה טהור? אקח את החלק הממשי של הביטוי ואראה שהוא שווה לאפס?

הפתרון מסתמך על הכלל שציינת קודם

נסמן: [TEX]t=r\cdote^{i \vartheta};w=r\cdote^{i \varphi}[/TEX]


[TEX]\frac{t+w}{t-w} = \frac{r\cdote^{i \vartheta}+r\cdote^{i \varphi}}{r\cdote^{i \vartheta}-r\cdote^{i \varphi}} = \frac{r\cdot(e^{i \vartheta}+e^{i \varphi})}{r\cdot(e^{i \vartheta}-e^{i \varphi})} = \frac{e^{i \vartheta}+e^{i \varphi}}{e^{i \vartheta}-e^{i \varphi}}[/TEX]

נשתמש כעת בחילוק מרוכבים ע"י כפל בצמוד המכנה:
[TEX]\frac{e^{i \vartheta}+e^{i \varphi}}{e^{i \vartheta}-e^{i \varphi}} = \frac{e^{i \vartheta}+e^{i \varphi}}{e^{i \vartheta}-e^{i \varphi}} \cdot \frac{\overline{e^{i \vartheta}+e^{i \varphi}}}{\overline{e^{i \vartheta}-e^{i \varphi}}} = \frac{(e^{i \vartheta}+e^{i \varphi})\cdot(\overline{e^{i \vartheta}-e^{i \varphi}})}{|e^{i \vartheta}-e^{i \varphi}|^2} = \frac{(e^{i \vartheta}+e^{i \varphi})\cdot(\overline{e^{i \vartheta}}-\overline{e^{i \varphi}})}{|e^{i \vartheta}-e^{i \varphi}|^2} = ...[/TEX]


[TEX]... = \frac{e^{i \vartheta}\cdot\overline{e^{i \vartheta}} + e^{i \varphi}\cdot\overline{e^{i \vartheta}} - e^{i \vartheta}\cdot\overline{e^{i \varphi}} - e^{i \varphi}\cdot\overline{e^{i \varphi}}}{|e^{i \vartheta}-e^{i \varphi}|^2} = \frac{r^2 + e^{i \varphi}\cdot\overline{e^{i \vartheta}} - e^{i \vartheta}\cdot\overline{e^{i \varphi}} - r^2}{|e^{i \vartheta}-e^{i \varphi}|^2} = \frac{e^{i \varphi}\cdot\overline{e^{i \vartheta}} - e^{i \vartheta}\cdot\overline{e^{i \varphi}}}{|e^{i \vartheta}-e^{i \varphi}|^2}[/TEX]


פה הקטע שמשתמשים בכלל שהבאת לעייל, שים לב שבמונה הביטוי האחרון יש מספר מרוכב פחות צמודו, ועל כן הוא מדומה טהור
היינו: [TEX]e^{i \varphi}\cdot\overline{e^{i \vartheta}} - e^{i \vartheta}\cdot\overline{e^{i \varphi}} = e^{i \varphi}\cdot\overline{e^{i \vartheta}} - \overline{e^{i \varphi}\cdot\overline{e^{i \vartheta}}} = 2\cdot i\cdot\operatorname{Im}(e^{i \varphi}\cdot\overline{e^{i \vartheta}})[/TEX]


ובמכנה כמובן יש לנו מספר ממשי, מה שמותיר לנו בסה"כ מספר מדומה טהור


נ.ב. היה קשה להבחין בסריקה שלך בסימוני הערך המוחלט של ‎|t|=|w|‎..

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

שאלה- הe בחזקת משהו, מייצג את הcosx+sinx*i בהצגה הפולרית?

אכן, לפי נוסחת אוילר: [TEX]e^{i \theta} = \cos{\theta} + i \sin{\theta}[/TEX], מה שהופך את הטיפול במספרים מרוכבים להרבה יותר פשוט
לדעתי זה חבל שמעדיפים להתמקד ב-'cis' במקום בצורה הנ"ל, היא הופכת הרבה דברים במישור המרוכב ליותר אינטואיטיביים כי היא מנסחת דברים בצורת חזקות שלהם יש כללים מאד פשוטים

דוגמא פשוטה היא הכפלת מספרים מרוכבים, מבחינה גיאומטרית הכפלה במספר מרוכב [TEX]z=r\cdote^{i \vartheta}[/TEX] משמעותה כ"מתיחה פי r" ו-"סיבוב בזוית θ"
אפשר לראות זת בקלות ע"פ הכלל הנ"ל, כי אם לדוגמא [TEX]z=r_2\cdote^{i \vartheta};w=r_1\cdote^{i \varphi}[/TEX], אזי הכפלת w ב-z נותנת:
[TEX]w \cdot z = r_1 e^{i \varphi} \cdot r_2 e^{i \vartheta} = r_1 \cdot r_2 \cdot e^{i \varphi} \cdot e^{i \vartheta} = r_1 \cdot r_2 \cdot e^{i (\varphi+\vartheta)}[/TEX]
האורך הוכפל ב-[TEX]r_2[/TEX] ולזוית התווספה θ, והכל ע"פ חוקי חזקות הנלמדים בחטיבת הביניים..


עריכה: משפט אויילר הנ"ל כמובן מוביך לזהות אויילר (פשוט מציבים θ = פאי), הנוסחה היפה ביותר בעולם
[TEX]e^{i \pi} + 1 = 0[/TEX]
שילוב של חמשת הקבועים המתמטיים הבסיסיים ביותר: 0 (האיבר הניטרלי ביחס לחיבור), 1 (האיבר הניטרלי ביחס לכפל), e (בסיס הלוגריתם הטבעי), i (היחידה המרוכבת) ופאי (היחס בין היקף המעגל לקוטרו שתפקידו במתמטיקה גדול לאין שיעור..)
כולם קשורים יחד בשלושת הפעולות האריתמטיות הבסיסיות ביותר: חיבור, כפל וחזקה.
פשוט יפהפיה

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

יפה, חכם האוילר הזה

ובדיוק ערכתי לתוספת

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

לפני שנמשיך בהערכת כושר ההמצאה של הצרפתי (נכון? נשמע צרפתי), עוד מס' שאלות-
1. צמוד של e כפול e נותן r?
2. מהו אותו צמוד? אני יודע שבcis הצמוד הוא מינוס הזווית, אולם כיצד זה מיוצג באותה צורה של חזקה?

1. לא בדיוק הבנתי את השאלה הראשונה, אבל אם [TEX]z=r\cdote^{i \vartheta}[/TEX] אז [TEX]z\cdot\bar{z}=r^2[/TEX]
בהצגה רגילה צריך להשתמש במעט אלגברה, בהצגה הנ"ל מספיק חוקי חזקות כי:

2. כמו שאמרת, צמוד הוא פשוט 'מינוס הזוית', ועל כן, אם [TEX]z=r\cdote^{i \vartheta}[/TEX] אז [TEX]\bar{z}=r\cdote^{-i \vartheta}[/TEX] (החזקה במינוס)

ועל כן הסעיף הראשון מתבהר בקלות שכן:

[TEX]z\cdot\bar{z} = r\cdot e^{i \vartheta} \cdot r\cdot e^{-i \vartheta} = r^2 \cdot e^{i (\vartheta-\vartheta)} = r^2 \cdot e^0 = r^2[/TEX]
במילים אחרות, (כמתבהר ע"פ התגובה הקודמת שלי), האורך גדל פי r והזוית פשוט מתבטלת (אתה מסובב את הוקטור חזרה בזוית שהוא נמצא בה..)


ללא זה היה צריך ללכת לפי:
[TEX]z = a+bi ;\bar{z} = a - bi ; |z| = |a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}[/TEX]
ועל-פי פיתוח אלגברי:
[TEX]z\cdot\bar{z} = (a+bi)\cdot(a - bi) = a^2+b^2 = (\sqrt{a^2 + b^2})^2 = |z|^2[/TEX]
שהוא מעט פחות אינטואיטיבי כי הוא לא נותן לך תובנה מעמיקה על מה שקורה, אלא סתם פיתוח


נ.ב. ואויילר היה שוויצרי

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

התנצלותי הכנה לאוילר (למרות שעם שם כזה הוא כנראה מהחלק הצרפתי של שוויץ) ועדיין נותרה שאלה אחת-
במשפט האחרון, כשפיתחנו את המונה, המעברים אינם ברורים לי- כיצד החלפנו צמוד של e אחד בצמוד של e אחר.

לא הבנתי לאיזה חלק התכוונת
אם תוכל לצטט את הקטע הבעייתי

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

או.קיי, סימנתי את המעבר שאינני מבין-

לא רואים בצילום שלך, אבל מעל החלק הימני אמורה להיות פעולת צמוד גם על כל הביטוי:


בפשטות: [TEX]z\cdot\bar{w} = \overline{\bar{z}\cdot w} = \overline{w\cdot\bar{z}}[/TEX]

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

או.קיי, הבנתי.

תודה רבה על העזרה ואני בטוח שעם הנוסחה החדשה של אוילר הסיוט הטריגונומטרי יומר בבעית חזקות פשוטה .

אין בעד מה

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

כל מקום בשרשור שנכתב [TEX]r\cdote^{i \vartheta}[/TEX] או [TEX]r\cdote^{i \varphi}[/TEX] אמור להיות כמובן [TEX]r\cdot e^{i \vartheta}[/TEX] ו-[TEX]r\cdot e^{i \varphi}[/TEX]
זה מה שקורה כשבLaTeX שוכחים לשים רווח, ועצלן מדופלם שכמוני כמובן לא יכתוב כל פעם את הביטוי, אלא יכתוב אותו פעם אחת ויעתיק את הטעות שוב ושוב לאורך כל השרשור.......


הבהרה: בקוד במקום r\cdot e^{i \vartheta}‎ כתבתי r\cdote^{i \vartheta}‎

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

זה בסדר, דאגתי לתקן את זה (וגם התבלבלות עם מינוס ופלוס). אתה לא באמת חושב שאני מעתיק כמו תוכי, נכון?