גלשתי בפוסטים המוקדמים של הבלוג של גיל כהן (ותודה לidjo) :
http://www.tapuz.co.il/blog/userBlo...lderName=insite

ומשם הגעתי לכתבה המעניינת הזאת:
http://www.geocities.com/yedacjb/pie.htm

ואז הגעתי לקטע של הבסיסים. אני יודע בעיקרון על הבסיסים: הקסאדצימלי, עשרוני, אוקטלי, בינארי (יש עוד?). אבל למה בכלל המציאו אותם מלכתחילה (ואני יוצא מנקודת הנחה שאת הבינארי המציאו לפני המצאת המחשב, ולא בגללו)? מה המטרה שלהם (פרט כמובן לבסיס העשרוני)?

אם כבר אתם באתר ההוא, שימו לב לארכיון:
http://www.yeda.cjb.net/

ולשאלה שכשהייתי יותר קטן תמיד סיקרנה אותי, אך כעת, כאשר ביה"ס לימד אותי להיות אדיש, שכחתי:
http://www.hebrewscience.cjb.net/10p.htm

עשיתי ● חפרתי

זאת שאלה אם תשובה יותר מורכבת אבל אני ינסה לענות על רגל אחת.....
המחשב יודע לקרוא רק בשיטה של 0 או 1 זאת אומרת......פעיל או לא פעיל ......אנחנו כמובן מדברים יום יום בבסיס 10 שזהו דסימלי........הקסדסימלי זהו בסיס שיכול להכיל יותר מידע בפחות מקום.........

בבסיס דסימלי ...למשל 22 .........., המחשב לא יודע מזה 22 הוא מתרגם את זה לעצמו לבסיס בינארי....
דסימלי22 = בינארי10110
כמובן שאנחנו בחיי היום יום לא יכולים להשתמש בבסיס בינארי כי אם תשים לב ככול שהמספר יותר גדול יש הרבה מאוד אפסים ואחדים.........תנסה אתה להגיד ללקוח למשל שהוא צריך להביא לך 10100101100 ש"ח שזה כמובן 1324 בדסימלי ........עכשיו הקסדסימלי כמו שאמרתי מיקודם מכיל הרבה מידע בפחות מקום.....לדוגמא....
דסימלי 132000. = בינארי = 100000001110100000 = הקסדסימלי = 203a0

כול זה באמת על רגל אחת ......מה שאתה צריך לדעת בגדול ש 0 זה לא פעיל ו 1 זה פעיל ...משם הכול התחיל....וגם יצא חרוז

אממ... בעקרון כל מספר טבעי הגדול מאחד יכול להוות בסיס.

אני לא יודע בדיוק מה המקור של כל בסיס, אבל אני יכול לציין מספר סיבות לשימוש בהם.
עשרוני שימושי כי אנחנו פשוט רגילים אליו. מעניין מה היה קורה אם היה לנו מספר אצבעות שונה.
בבינארי, כמו שאתה כנראה יודע, משתמשים בעיקר כי המחשב יכול ליצג רק שתי ספרות, אמת ושקר.
וכן יש כמה דברים שמוגדרים באופן קל יותר בבסיס זה, למשל פעולות חשבון, אז המרה אליו יכולה לעזור בבעיות מתמטית. (הוכחתי פעם משהו בבלוג על ידי ההמרה הנ"ל)
באוקטלי וקסאדצימלי מתמשים בעיקר כדי לקצר הצגה של מספרים בינאריים. הם בעצם מקשרים נוחים בין צד המשתמש לצד המחשב.

ציטוט:

במקור נכתב על ידי Idjo (הוכחתי פעם משהו בבלוג על ידי ההמרה הנ"ל)

יש לך קישור?
מסקרן אותי איך השתמשת בזה

[התמונה הבאה מגיעה מקישור שלא מתחיל ב https ולכן לא הוטמעה בדף כדי לשמור על https תקין: http://galbarak.co.il/for_other_uses/freshsignature2.png]

הקישור לדיון:
http://www.tapuz.co.il/blog/viewEnt...e&EntryId=18882
ההוכחה: (כן, חטאתי והעלתי את זה לפרש )
https://legacy-uploaded.fresh.co.il...4187857cf0e.doc

העניין הוא פחות ההוכחה ויותר איך שהגעתי אליה, על ידי הההמרה שעשיתי למספר בינארי יכולתי לשחק איתו ביתר קלות.

בחיים, אבל בחייייייייים, לא הייתי חושב על זה

[התמונה הבאה מגיעה מקישור שלא מתחיל ב https ולכן לא הוטמעה בדף כדי לשמור על https תקין: http://galbarak.co.il/for_other_uses/freshsignature2.png]

טוב, אני לא זוכר את הרעיון שמאחורי זה אבל אני זוכר שהוא יותר פשוט מההוכחה עצמה.
היו לי דוגמאות יותר פשוטות להוכחה על ידי המרה. אפילו דוגמא להמרה לבסיס n כלשהו , לצערי גם אותם אני לא זוכר (הזכרון שלי בוגד בי אהה?).

אבל זה כבר נושא אחר, ייצוג שונה של מספר לפעמים גורם להפשטה של הבעיה למשל אם אתה מתעסק הרבה במספרים שהם 5 בחזקת משהו יהיה לך קל יותר לפתור את הבעיה הזאת בבסיס 5 (תלוי בבעיה כמובן)
בכל מקרה זה מראה שהמספר עצמו הוא משהו אבסטרקטי שאפשר לייצג בדרכים שונות ומשונות ולא משהו אבסולוטי שהוא פשוט 23 וגמרנו

יש גם אפשרות לשנות את הצירים בגרפים ולייצג פעולות בצורה שונה לפי צירים שונים
סה"כ המתימטיקה זה דבר גמיש...

חתימתכם הוסרה כיוון שלא עמדה בחוקי האתר. לפרטים נוספים לחצו כאן. תוכלו לקבל עזרה להתאמת החתימה לחוקים בפורום חתימות וצלמיות.

אשמח לדעת מהו בסיס שברי

זאת הנוסחא הכללית:

... d_3*r^3 + d_2*r^2 + d_1*r^1 + d_0*r^0 ....

d זה ה digit הסיפרה, ו r זה radix הבסיס
הבסיס יכול להיות גם שיברי ואפילו אי רציונאלי (בד"כ משתמשים במספרים בבסיס e, זה הבסיס האי רציונאלי הנפוץ)
זה אפילו יכול להיות שלילי!

חיפשתי אתר בגוגל שיסביר את זה טוב לא ממש מצאתי אבל ניראה לי שזה יספיק
http://www.americanscientist.org/te...id/14405/page/1

ציטוט מהאתר:

Usually, r is a positive integer and the digits are integers in the range from 0 to r–1, but neither of these restrictions is strictly necessary. (You can build perfectly good numbers on a negative or an irrational base, and below we'll meet numbers with negative digits.)

חתימתכם הוסרה כיוון שלא עמדה בחוקי האתר. לפרטים נוספים לחצו כאן. תוכלו לקבל עזרה להתאמת החתימה לחוקים בפורום חתימות וצלמיות.

לפני כמה זמן ניסיתי לחשוב האם יכול להיות בסיס שבר, והגעתי למסקנה שלא, אני ממש לא יכול להסביר למה, אבל זו היתה המסקנה שלי.
האם יש שימוש או משמעות לבסיס שלילי או שברי, מלבד לשעשוע מתמטי? (אני לא מאלה שמשתעשעים ממתמטיקה)

תראה שבסיס e הוא הבסיס היעיל ביותר להצגת מספרים (מבחינת יחס האורך/כמות תווים)

בנוסף לפיתרון של כל מני בעיות בפיזיקה כניראה צריך בסיסים שונים ומשונים, לתורת הכאוס למשל צריך מימדים שיבריים (פראקטליים) בשביל לייצג צורות שונות ולמצוא סדר בפונקציות "לא ליניאריות" שאי אפשר לפתור בדרכים אחרות.

בנוסף אם בשאלה של Idjo במקום ^2 היה ^e הוא היה צריך להשתמש בייצוג בבסיס e במקום (או לחפש צורת פיתרון אחרת)

יש שימוש לכל דבר רק צריך למצוא אותו

חתימתכם הוסרה כיוון שלא עמדה בחוקי האתר. לפרטים נוספים לחצו כאן. תוכלו לקבל עזרה להתאמת החתימה לחוקים בפורום חתימות וצלמיות.

הסיבה לבסיס העשרוני נעוצה באצבעות הידים שלנו, שהיו השיטה הקלה ביותר לספירה.
שבטים אפריקאים קדומים השתמשו לשם הספירה גם באצבעות הרגליים, ובחלק מהעולם
נשתמרו היסודות לבסיס זה (בסיס 20) לדוגמה בצרפת, המספר 80 נקרא ארבע פעמים 20,
והספרה 90 נקראת ארבע פעמים 20 ועשר.

לאינדיאנים באמריקה הצפונית היתה שיטת חישוב המבוססת על חשבוניה המצויירת בקרקע בצורה
הדומה לצלב קרס הפוך, הבסיס לספירה זו היה 8 או 4.

אבל הגדילו לעשות, היו תושבי מסופוטמיה. בבל הקדומה שהיתה מרכז התפתחותי חשוב בעת העתיקה
השתמשה בבסיס הבלתי נתפס - 60!!!!
בסיס זה היה מעולה לכל החישובים האסטרונומים/אסטרולוגים שערכו, הוא היה נהדר לחישוב זמנים
(שעות היום, מהלך השנה, עונות לשתילה וזריעה) - בסיס זה היה כ"כ טוב לשימוש מכיוון שהוא התחלק
ללא שארית ב:
1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30

עד היום אנו משתמשים בבסיס זה לחישוב זויות וחישובי מעגלים (מעלות!! לא רדיאנים...), לחישוב זמן (60 שניות = דקה, 60 דקות = שעה)...

הסיבה העיקרית ששיטה זו לא שרדה היא כמות המספרים שצריך לזכור!!!

זו היתה מעט הסטוריה של הבסיסים...

[ זיו ]
[ fat fish ]

מאיפה לך הידע ההסטורי הזה?

חוץ מזה בעזרת אצבעות הידיים אפשר לספור עד 1023, רק יש בעיה קטנה להציג חלק מהמספרים, (לדוגמא אם מתחילים מהזרת אז את המספר 2 קשה להציג... ו 4 בימינו יהיה טיפה מעליב )
וחוץ מזה יהיה גם קצת בעיה לזכור את כל הצורות בע"פ למרות שיש חוקיות די ברורה
מה אתם אומרים למה לא ספרו בבסיס 1024?

חתימתכם הוסרה כיוון שלא עמדה בחוקי האתר. לפרטים נוספים לחצו כאן. תוכלו לקבל עזרה להתאמת החתימה לחוקים בפורום חתימות וצלמיות.

לדעתי הבסיס ההקסהדצימלי הוא המושלם ביותר. קודם כל, הוא לא רחוק הרבה מהבסיס העשרוני, כך שלא צריך לזכור הרבה סימנים, ומצד שני הוא מקביל לבסיס הבינארי שזו שפת המחשבים. כמתכנת בשפות תכנות נמוכות (אני מתעסק באלקטרוניקה בעיקר) כאסמבלי, בסיס 16 משמש כבסיס הראשון שלי, ורק אחריו בא הבסיס העשרוני.

דוגמא ליעילות שבבסיס זה היא תוכנית שבנה אחד הסטודנטים שלי, התוכנית (באסמבלר 8051) הייתה מקבלת כמה מספרים, ומעבדת אותם בצורה מתמטית כדי להגיע לתוצאה מסויימת. לא היה כל דופי בתכנית, מלבד העובדה שקובץ ההרצה שלה שקל 22KB שזה היה יותר מדי עבור אותה מערכת, וזמן ההרצה היה כה ארוך עד שהיה ניתן לחכות משהו כמו 10 שניות (!) לתוצאה.
כשעברתי על הקוד, שמתי לב שהוא היה אמנם יעיל ובלי שגיאות, אלא שלא היה לו מושג בבסיס הקסה' ואת כל המספרים שהוא קיבל (בבסיס עשרוני) הוא השאיר בבסיס עשרוני, וביצע את כל הפעולות המתמטיות באותו בסיס. אחרי ששכתבתי את הקוד להמרה וביצוע הפעולות בבסיס הקסה', קובץ ההרצה היה 3KB, ומספר מחזורי השעון שנחסכו למעבד היו 10 מליון!
(למי שמתכנת בשפות האלו כמובן שזה לא דבר חדש, אבל זו דוגמה שהשתמשתי בה רבות כדי להסביר את ההבדל)

ובלי קשר, באשכול המתמטיקה טענתי שהיא החיים עצמם.. הנה סיפור מעניין. קודם כל, בטח ידוע לכם שמספר הקסהדצימלי מסמנים עם H אחרי המספר. הקיצקץ, יום אחד אני מחכה לאוטובוס, קו 27, ואחרי כמה דקות מגיע קו 27H, שזה בירושלמית קו 27, שעושה עוד סיבוב קטן בסוף, ולכן מוסיפים לו H. אני מסתכל על המספר - מממממ. קו 27 הקסה'?! (שזה בעשרונית קו 39) לא, אני לא צריך קו 39... ולא עליתי.

..

יותר קרוב לעשרוני, וגם קשור לבסיס הבינארי.
יכול להיות שאם היו לנו ארבע אצבעות בכל יד היה לנו יותר קל לתכנת?

אבל עיקר השימוש הוא בבסיס הקסה, מפני ששני ספרות הקסה' מהוות 8 ביטים שהם בית אחד. אם היינו משתמשים בבסיס אוקטלי, היינו צריכים שתים וחצי ספרות... זה לא נוח.

..

אבל יש בעיה אחת, אתה מתכנת באסמבלי, אתה אמור להבין שאי אפשר "להשאיר מספר בעשרוני" ואפילו אי אפשר להעביק להקסה... המספרים נשמרים כסיביות בינאריות, לא יודע אילו פעולות הוא עשה אבל פעולות כמו חיבור חיסור ואפילו כפל וחילוק לא משנה להם באיזה בסיס אתה עושה כי הם תמיד עושים את זה על בינארי.......

אתה לא יכול לעשות פעולות מסויימות על מספר "בבסיס מסויים" במחשב ולחסוך פעולות, אתה יכול רק להתייחס אליו בצורה מסויימת וככה לעשות פעולות

נשמע לי מאוד תמוה העניין.... (חוץ מזה שאתה יכול לרשום בתוכנית אסמבלי 1111111111111111b במקום 0FFFFH וזה ייקח בדיוק אותו מקום בקובץ EXE, זה מקמפל את שניהם לאותו דבר, בינארי)

אז משהו מוזר בסיפור התיכנותי שלך
חוץ מזה, איזו פעולה מתימטית לוקחת 10 שניות לפעול??? וחוץ מזה 10 מליון פעולות זה ממש קצת למעבד... מעבד של 400MHZ עושה 400 מליון פעולות בשנייה (קצת יותר אפילו), נקצץ טיפה בגלל שאתה מפעיל ווינדוס ברקע אז אנחנו מגיעים לבערך 30 מליון פעולות בשנייה, זה אומר שאם קיצצת 10 מליון פעולות קיצצת פחות משנייה........

אני לא אומר שאתה משקר אני פשוט לא מבין מה אתה אומר תסביר יותר כי כל הסיפור נשמע לי מוזר

חתימתכם הוסרה כיוון שלא עמדה בחוקי האתר. לפרטים נוספים לחצו כאן. תוכלו לקבל עזרה להתאמת החתימה לחוקים בפורום חתימות וצלמיות.

כמו שאמרת, המספרים הם רק סיביות, ותלוי איך אתה מתייחס אליהם. אותו תלמיד התייחס אליהם כאל ספרות עשרוניות. איך הוא עשה את זה? בבקשה: התלמיד הנ"ל קיבל את המספרים מהקלט כרגיל, כמספר ASCII. במקום להוסיף לו כרגיל 30H כדי להפוך להקסה', ואז לחבר את המספר כרגיל, באמצעות פקודות ADD SUB וכו' הוא השאיר את המספר כספרות בודדות עשרוניות. כל מספר בתא זיכרון. את הפעולות החשבוניות הוא עשה תוך שימוש בקומבינות ומניפולציות מתמטיות, (הכפלת הספרה השלישית ב 64H כדי לקבל ספרת מאיות, השניה ב A וכו') תוך שהוא ממשיך להתייחס למספר כאל מספר עשרוני, המיוצג בעזרת ספרות בודדות, שכל ספרה נמצאת בתא זיכרון נפרד. את כל זה הוא עשה בכל הפעולות, מבלי להמיר את המספר באף שלב (מלבד התצוגה אולי).

כמובן שאם אתה מתייחס למספר בצורה כזאת, אתה לא מסוגל להשתמש בפקודות האסמבלי בצורה הרגילה שלהן, מפני שADD לא יבצע חיבור נורמלי, וSUB לא יבצע חיסור כמו שרגילים להתייחס אליו במערכות בינאריות. לכן את כל פקודה כזאת מחליפה פונקציה ארוכה, וכל אוסף הפונקציות ואורך התוכנית גרם לקובץ ההרצה להיות גדול. (קובץ הרצה, HEX, ולא קובץ exe שים לב לפיסקה הבאה)

ובקשר למהירות.... כנראה שלא שמת לב, אבל ציינתי בפירוש שמדובר באסמבלי של מיקרובקר 8051, הפועל בתדר 1MHz.... חיסכון של 10 שניות = חיסכון של 10 מליון פעולות (ולא כמו שחשבת, במעבד תואם אינטל 8086/88.)

ניכר מדבריך שאתה לא ממש מבין בנושא... אני שמח שלפחות לא קראת לי שקרן.

(נ.ב. כדי שלא תטען שוב שאני מדבר שטויות, אדייק בדברי. תדר השעון המקסימלי של 8051 הנ"ל הוא 12MHz אולם שעון זה מחולק בחלוקה פנימית כך שכל 12 מחזורי שעון נחשבים למחזור אחד של הבקר)

..

ואני מבין את זה,
אני רואה שאותו תכנת בזבז סתם המון פעולות מתימטיות ובזבז תאים שלמים של 8(?) סביות לספרה בודדת.
זה תיכנות ממש קלוקל במיוחד אם משתמשים במעבדים איטיים כאלה, אבל גם אם לא, בשביל תוכניות ארוכות זה יכול להיות מאוד קריטי.

אבל שוב, זה נשמר בזיכרון בבינרי ולא בהקסה אתה יכול להתייחס אל זה בתור בהקסה ואפילו להתייחס לזה בתור עשרוני (אם אתה לא עושה פעולות BITWIZE ואתה משתמש רק בחיבור חיסור כפל וחילוק בתור בסיס וברור שאתה צריך לשמור את כל המספר בבינרי בכמה שפחות אוגרים וא כל ספרה) למרות שאם מתייחסים אל המספרים בתור הקסה קל יותר לזהות גלישות...

מעולם לא קראתי לך שקרן ועכשיו הבנתי את כל הסיפור ואתה צודק.

חתימתכם הוסרה כיוון שלא עמדה בחוקי האתר. לפרטים נוספים לחצו כאן. תוכלו לקבל עזרה להתאמת החתימה לחוקים בפורום חתימות וצלמיות.

אגב, זו הייתה תוכנית "דוגמא" כך שלא הייתה לאותו תלמיד בעיית זיכרון או משהו כזה. מצידו הוא יכל לשים כל ביט באוגר אחר, רק שהתכנית תעבוד.

..

אממממ.... זו לא נראית לי חוכמה גדולה להראות יעילות של הבסיס ההקסדצימלי, לעומת העשרוני, ע"י הרצת תוכנה על מערכת שפועלת בצורה בינארית.
אם האלקטרוניקה הספרתית שלנו היתה פועלת בבסיס 10, אז הגיוני שהיית יכל להראות יעילות טובה יותר עם תוכנה שנועדה לחשב בבסיס 10.

השימוש בשיטה ההאקסדימלית במקום העשרונית, נשמע לי יותר כמו שעבוד האדם לעקרון הפעולה של המכונה, במקום התאמת המכונה לאדם.
כמובן, אתה מתכנת באסמבלי, אז במידה מסויימת אין לך כל-כך ברירה... תנחומיי

[התמונה הבאה מגיעה מקישור שלא מתחיל ב https ולכן לא הוטמעה בדף כדי לשמור על https תקין: http://galbarak.co.il/for_other_uses/freshsignature2.png]

יעילות זה יחס של כמות התווים ואורך מספר קטן ביותר, יצא שe זה הבסיס הטוב היותר ובגלל זה 3 זה הבסיס השלם היעיל ביותר
הקסה זה הרבה יותר מדי סימנים ו2 זה מספרים ארוכים מדי, 10 זה גם יותר מדי תווים

חתימתכם הוסרה כיוון שלא עמדה בחוקי האתר. לפרטים נוספים לחצו כאן. תוכלו לקבל עזרה להתאמת החתימה לחוקים בפורום חתימות וצלמיות.

אני מסוג האנשים שחושבים שיש להתאים את האדם למחשב ולא ההיפך... אבל זה כבר ויכוח אחר.

..