יש לי את זה:
[tex]x^2+2\text{xy}-y^2=a^2[/tex]

אני רוצה y' ו- y''.

את הנגזרת הראשונה הבנתי שאני מוצא ע"י:
[tex]-\frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial y}}[/tex]

מאיפה זה הגיע?
ואיך מוצאים נגזרת שנייה.

מה אתה לומד שמענישים אותך ככה?

למה מענישים? זה דווקא אמור להיות פשוט (כשמבינים מאיפה זה בא).. זה מחדוא 2.

פשוט גזור לפי x בהתאם לכללי הגזירה (מכפלה, נגזרת פנימית וכו'..)

[TEX]2x + 2(y+xy') - 2yy' = 0[/TEX]

[TEX]x + y+xy' - yy' = 0[/TEX]

עכשיו אפשר לבודד את הנגזרת

[TEX]x + y = yy' - xy'[/TEX]

[TEX]x+y = (y-x)y'[/TEX]

[TEX]\frac{x+y}{y-x} = y'[/TEX]


אתה יכול להשתמש גם בנוסחא שהבאת, היא נובעת די ישירות מכלל השרשרת
אם [TEX]F(x,y) = 0[/TEX], אז כאשר נגזור את שני האגפים נקבל:

[TEX]\frac{ \partial F}{ \partial x} \frac{dx}{dx} + \frac{ \partial F}{ \partial y} \frac{dy}{dx} = 0[/TEX]

[TEX]\frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y} \frac{dy}{dx} = 0[/TEX]

[TEX]\frac{dy}{dx} = - \frac{\partial F}{\partial x}/\frac{\partial F}{\partial y}[/TEX]
וזו הנוסחא שהבאת


נראה שגם משימוש בה נקבל את אותה תוצאה:
[TEX]F(x,y) = x^2+2\text{xy}-y^2-a^2[/TEX]


[TEX]\frac{\partial F}{\partial x} = 2x + 2y[/TEX]

[TEX]\frac{\partial F}{\partial y} = 2x - 2y[/TEX]

ולכן:
[TEX]\frac{dy}{dx} = -\frac{2x+2y}{2x-2y} = \frac{x+y}{y-x}[/TEX]
וזה בדיוק מה שקיבלנו קודם

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

ואיך אני מוצא נגזרת שנייה?
כי אם אני גזר את הנגזרת הראשונה פה שוב לפי X אני לא מקבל את הנגזרת השנייה משום מה

הגענו לכך ש-
[TEX]y' = \frac{x+y}{y-x}[/TEX]

נגזור זאת:

[TEX]y'' = \frac{(x+y)'\cdot(y-x) - (x+y)\cdot(y-x)'}{(y-x)^2}[/TEX]


[TEX]y'' = \frac{(1+y')\cdot(y-x) - (x+y)\cdot(y'-1)}{(y-x)^2}[/TEX]


[TEX]y'' = \frac{y-x+x+y + y'\cdot(y-x-x-y)}{(y-x)^2}[/TEX]


[TEX]y'' = \frac{2(y - xy')}{(y-x)^2}[/TEX]


אפשר ת'כלס להשאיר ככה, אבל אנו נציב חזרה את הנגזרת הראשונה:
[TEX]y'' = \frac{2(y - x\frac{x+y}{y-x})}{(y-x)^2}[/TEX]


עכשיו רק נפשט כדי להגיע ל-
[TEX]y'' = \frac{2(\frac{y^2-xy - x(x+y)}{y-x})}{(y-x)^2}[/TEX]



[TEX]y'' = \frac{2(y^2 - 2xy - x^2)}{(y-x)^3}[/TEX]

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

שפיץ, תודה :]

אין נוסחאת קסם כמו לנגזרת הראשונה?

מה עם הנוסחא שאתה עצמך הבאת? היא לא נחשבת?

ואין בעד מה

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

כן אבל היא רק לנגזרת הראשונה, לא?

אופס, פספסתי את המילה "כמו"

סביר להניח שניתן לנסח גם בשבילה נוסחא מפורשת, אבל היא בטח תהיה מסורבלת

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

אתה יודע כמה חמור זה "פספסתי" במתמטיקה..
פעם אחרונה שפיספסתי את הסימן מינוס זה עלה לי הרבה נקודות

שוב תודה על העזרה :]