טענה: אם {An} היא סדרה כך שמספר האיברים בסדרה השונים זה מזה במספר הוא סופי ושונה מ-0, אזי An מתכנסת.

א. הטענה נכונה

ב. הטענה לא נכונה

=================

התשובה הנכונה היא א' - זה אני יודע בוודאות.


אבל זה לא ברור לי למה, הרי אם ניקח את הסדרה:

[tex](-1)^n[/tex] שהיא סדרה שאינה מתכנסת.

היא סדרה שמספר האיברים בה השונים זה מזה הוא סופי ושונה מ-0: האיברים היחידים בסדרה הם 1- ו 1, זה שני איברים (מספר סופי של איברים) ופעם אחרונה שבדקתי 2 שונה מ-0...

אז התשובה לא ברורה לי...

ממה שאני מבין את זה הכוונה היא שקיים מספר סופי של איברים ששונים זה מזה, כלומר יש נאמר 20 איברים שונים זה מזה בסדרה אינסופית. לעומת זאת ב1- ו 1, מספר האיברים השונים זה מזה הוא אינסופי.

בסידרה שהבאת בדוגמא,מספר איברים השונים(1 ו -1) הם אינסופים.
ומה שאומרים לך בשאלה,זה פחות או יותר הגדרה של סידרה מתכנסת:קיים מספר סופי של איברים מחוץ לאפסילון סביבה כלשהיא,והחל מN מסוים,כולם מתכנסים לסביבה.כאשר יש אינסוף מספרים שווים,זה פחות או יותר אומר שהחל מn כלשהו, כל An בסביבה מאוד קטנה .

אבל הם לא שווים...
אני אשמח אם מישהו יוכל להביא דוגמה לכזאת סדרה (חוץ מסדרה קבועה)

קודם כל,אל תשכח שסידרה אפשר לרשום לא רק כתלוית N ללא סייגים,אלא גם בצורה כמו:אם n<5,אז An=n,אחרת An=5 למשל.

או שאפשר לדוגמא ככה :



עבור n=1 ,n=2 ,הערכים הם 2,1 בהתאמה.אחר כך כולם שווים ל0.אז כעבור N=2,כל הערכים נכנסים לסביבת 0 (וזה שכולם נופלים על 0 עצמו=מה זה לא נקרא בסביבה?)

נתחיל מהסוף-סביבה של 0 היא לא 0...

לגבי סדרה עם תנאים (אפשר בכלל לעשות את זה בסדרה?) - אם אתה מגדיר למשל [tex]a_n=n[/tex] עבור [tex]n<5[/tex] ו [tex]a_n=5[/tex] עבור [tex]n>5[/tex] אז זאת סדרה קבועה, אני מחפש סדרה לא קבועה...

לגבי הסדרה שנתת אם התכוונת ל [tex]a_n_+_1=\frac{2}{a_n}[/tex] כאשר [tex]a_1=1[/tex] אז זאת סדרה שמייצרת תוצאה של 1,2,1,2,1,2... וזה בדיוק כמו הסדרה שאני נתתי
אם התכוונת ל [tex]a_n=\frac{2}{n}[/tex] אז זאת סדרה שמתכנסת ל-0, אבל כמו שאמרתי היא אף פעם לא תגיע ל-0 וכל האיברים פה שונים זה מזה...

נתחיל מהתחלה,אמרת שסביבה של 0 זה לא 0.נכון,אבל 0 נמצא בסביבה של 0,לא?כי זה מה שאמרתי.עוד פעם,הגדרה של סידרה מתכנסת היא,כאשר אחרי N מסוים,בו n>N ,כל האיברים של הסידרה מתחילים להיכנס לאיזושהי סביבה.ואם זה נופל על מספר בודד=מה טוב!

דבר שני,התכוונתי בדיוק למה שציירתי:זהו ערך שלם של ביטוי.[] = ערך שלם של ביטוי.הוא מעגל את הביטוי כלפי מטה,למספר השלם(בעיקרון מסבירים את זה ממש בשיעור\תרגול ראשון או שני של אלגברה,תזהר לא להפסיד חומר).

עבור N=1,הביטוי שווה ל2.כאשר מעגלים 2,יוצא 2 .
עבור N=2,הביטוי יוצא 1.כאשר אתה מעגל 1 לערך שלם,יוצא 1,נכון?
אז הנה,יש לך מספר מוגבל של ערכים שונים.

עבור N>=3,יוצא לך שבר שהוא קטן מ1,נכון?ערך שלם מעגל את זה כלפי מטה,כלומר כלפי 0.ז"א,מ3 והלאה,An יהיה 0 ,ויהיה 0 עד אינסוף (או עד 2012)...

אז בבקשה,עבור ערך Nי כלשהו,החל מ3,כמה גדול שהוא לא יהיה,הסידרה תהיה מכונסת ל0.

אפשר להביא עוד דוגמאות,טיפה יותר מסובכות,למשל גם ערך שלם בתוך משולש פסקל,אבל הדוגמא שהבאתי אמורה להספיק.

כן, הבנתי את הכוונה עם ערך השלם, תודה. חשבתי על להשתמש בו, אבל לא בצורה הזאת

ציטוט:

במקור נכתב על ידי RP. לגבי סדרה עם תנאים (אפשר בכלל לעשות את זה בסדרה?) - אם אתה מגדיר למשל [tex]a_n=n[/tex] עבור [tex]n<5[/tex] ו [tex]a_n=5[/tex] עבור [tex]n>5[/tex] אז זאת סדרה קבועה, אני מחפש סדרה לא קבועה...

אפשר ועוד איך...(זה נקרא אלגוריתם,ובתור אחד שלומד מדעי המחשב(?אני לא טועה?),עוד תראה את זה המון והמון).

יש 3 דרכים להגדיר סידרה.דרך אחת,כתלות ב N.
דרך שנייה,אלגוריתם.ודרך שלישית,רקורסיביות(למשל A(n+1)=An*2 או משהו סבגנון).