היי,

אחרי ח"י שאלות במתמטיקה, הגיע הזמן גם למתמטיקה יישומית (ידועה גם כ"פיזיקה" במקומות שונים).
להלן השאלה הבאה:



איך מתחילים את הבעיה הזאת? אני אפילו לא יודע את מי לבחור בתור מערכת ייחוס...

בתודה מראש לעוזרים .

משום מה זה מזכיר לי בעיית מכניקה דיי פשוטה מימי התיכון,כך שהכותרת נראת לי טיפה מפוצצת ותרתיע חלק מהאנשים מלהיכנס לאשכול.

שמע ימי הפיזיקה שלי עברו ממזמן, אבל ניראה לי שאתה יכול לחשב את מהירות ההתקמות לחוף ע"י חשבון ווקטורים
מהירות ההתקדמות של A היא
sqrt(U^2-V^2)
ואילו של B היא
sqrt(U^2+V^2)
עכשיו אתה יודע מה המרחק שכל אחד עובר
כמובן של B
אתה צריך להוסיף עוד את הריצה על החוף שהזמן שלה הוא t=(B'-B)/U'

בעקרון אתה יכול לבחור באיזו מערכת ייחוס שבא לך, זה כל הקטע עם מערכות ייחוס
אתה צריך פשוט לשנות את הנתונים בהתאם למערכת איתה אתה עובד

נסתכל לדוגמא על השייט הראשון, נתונה לך מהירותו ביחס למי הנהר, ונתון לך המרחק ביחס לקרקע, כך שאתה יכול:
1. לבחור במערכת הייחוס של מי הנהר, ולבדוק כמה מרחק הוא עבר ביחס למים
2. לבחור במערכת הייחוס של קרקע, ולבדוק מה מהירותו ביחס אליה

כיוון שנתונה לך מהירות המים, עדיף לדעתי ללכת על האפשרות השנייה, כי אז אפשר להשתמש בוקטורים כדי למצוא את המהירות



לגבי השייט השני, בתחילת דרכו הכי פשוט להסתכל במערכת המים
מהירותו שם נתונה (u) ודרכו שם גם נתונה (d)
שים לב, במערכת המים השייט הראשון נע ישירות צפונה, משמע עבר בה דרך d

ובהמשך דרכו (הריצה על הקרקע) אפשר לעבור פשוט למערכת הקרקע


זהו

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

רק רגע- המהירות היחסית מקבילה לכיוון החרטום? כלומר אצל סירה שתיים המהירות היחסית תהיה בכיוון צפון, בעוד שאצל סירה אחת היא הייתה שמאלה משום כיוון החרטום שלה.

לא משנה, הבנתי והצלחתי (הידד! ).

תודה לכל העוזרים .

להלן השאלה הבאה:



חשבתי שהתשובה היא "45 מעלות" (לא חישבתי, קצת היגיון ישר) אך נראה שההיגיון שלי מוטה כמו המסילה...

אז מה אם כן הדרך למצוא את הזווית? אולי משהו עם ייצוג הרכיבים של מהירות קרונית 2 במערכת של 1?

כנ"ל עבוד עם וקטורים כדי למצוא את המהירות

נסתכל במערכת קרונית 1 (כי אנו רוצים למצוא את מהירות קרונית2 לפיה)


פה נשתמש יותר במתמטיקה של וקטורים

• דבר ראשון, ברור כי מהירות קרונית2 ביחס לקרונית1 היא סכום הוקטורים בציור, משמע [TEX]v_2 - v_1[/TEX]
• דבר שני, הדרישה היא שוקטור זה יהיה בכיוון y'‎, משמע מאונך לוקטור [TEX]v_1[/TEX] (וגם ל[TEX]- v_1[/TEX] שבציור), על כן המכפלה הפנימית ביניהם היא 0 (וקטורים אורתוגונליים), בנוסחא: [TEX]\left( v_2 - v_1 \right) \cdot v_1 = 0[/TEX]

נפתח קצת.. ונזכור כי: [TEX]\vec{v}\cdot\vec{u} = \|v\| \|u\| \cos (v , u )[/TEX] (וכן [TEX]\vec{v}\cdot\vec{v} = \|v\|^2[/TEX])

[TEX]0 = \left(v_2-v_1\right)\cdot v_1 = v_2\cdot v_1 - v_1\cdot v_1 = \|v_1\| \|v_2\| \cos (v_1 , u_2 ) - \|v_1\|^2 = \|v_1\| \cdot \left( \|v_2\| \cos (v_1 , u_2 ) - \|v_1\| \right)[/TEX]
[TEX]0 = \|v_2\| \cos (v_1 , u_2 ) - \|v_1\|[/TEX]
[TEX]0 = 175 \cos (v_1 , u_2 ) - 35[/TEX]
[TEX]\cos (v_1 , u_2 ) = 0.2[/TEX]
ועל כן הזווית ביניהם שווה 78.46°
מה שאומר שהזווית בסימן שאלה היא ‎180° - 45° - 78.46° = 56.53°‎

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

לפי השרטוט המהירות של קרונית 2 פונה שמאלה, מה שאומר שהמהירות שלה במערכת של קרונית אחת היא סכום המהירויות של שתיהן (אלא אם פספסתי נקודה עקרונית כאן...).

לא הבנתי

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

זה לא המשולש שציירת, אלא ההשתקפות שלו, משהו בסגנון-

הציור שלי מסתכל מנקודת מבטה של קרונית1
מנקודת מבט זו, כל העולם נע בכיוון [TEX]-v_1[/TEX], לכן צריך להוסיף וקטור זה ל-[TEX]v_2[/TEX] כדי לקבל את תנועת קרונית2 ביחס לנקודת מבט זו



עריכה: תחשוב לדוגמא באופן חד-מימדי
נניח שקרונית1 נעה במהירות 15 מ"ש ימינה וקרונית2 נעה במהירות 10 מ"ש ימינה גם (שניהם ביחס לקרקע)
אם כן, מה מהירותה של 2 ביחס ל-1?
תשובה: מנקודת מבטה של 1, כל העולם נע שמאלה במהירות 15 מ"ש (‎-15 מ"ש), לכן צריך להוסיף וקטור זה ל‎10 מ"ש של קרונית2, ‎10 - 15 = -5‎
כלומר במערכת 1 קרונית2 נעה במהירות 5 מ"ש שמאלה (בגלל המינוס)

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

אהה... או.קיי, הבנתי.
אז אם אני למשל מחפש את זווית ההטייה כשקרונית שתיים נעה בכיוון הנגדי לציר הX, אני צריך למצוא מה הזווית בכדי שוקטור הסכום יהיה מקביל ונגדי בכיוון למהירות V1?

שוב לא הבנתי
זה לא משנה לאיפה הקרונית נעות, אין שום רלוונטיות למערכת הצירים, כדי למצוא את וקטור המהירות של גוף א' ביחס לגוף ב' יש לבצע את חיבור הוקטורים הנ"ל, תמיד.

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

על אותה מערכת צירים, עליי לחשב את זווית ההטייה בשביל ש[TEX] v_{2}[/TEX] תהיה מקבילה לציר [TEX] x'[/TEX] בכיוון השלילי, במילים אחרות (לפי מה שאמרת)-

[TEX] (v_2-v_1)*v_1=0 [/TEX]

בשביל מכפלה ווקטורית.

המכפלה הוקטורית שהבאתי היא כשנדרש שוקטור המהירות היחסי יהיה בכיוון y'‎ דווקא, כי מכפלת וקטורים מאונכים היא אפס

במקרה שאתה מתאר, שהוקטור היחסי צריך להיות בכיוון המנוגד ל-x'‎ (ולא מאונך לו) התשובה היא פשוטה עוד יותר, [TEX]v_2[/TEX] עצמו צריך להיות גם בכיוון זה (הן נעות למעשה על אותו ציר)
ממש כמו בדוגמא שהבאתי למעלה

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

מכפלה סקלרית של ווקטורים מאונכים היא אפס ומכפלתם הווקטורית של ווקטורים מקבילים היא אפס (עד כמה שזכור לי. ויקי מגבה אותי בעניין הזה, אך ממתי זה מקור אמין? ).

לפי דברייך אם כן הם צריכים להיות על אותו ציר, מה שאומר שהזווית בין המסילה של קרונית 2 לציר X תהיה 45-?

אופס.. התכוונתי כמובן למכפלה סקלרית (בגלל זה כתבתי "שהבאתי"..), מכפלה וקטורית מסמנים ב-X‏ (cross product) להבדיל מסקלרית שמסמנים בנקודה (dot product)
עכשיו לאחר שהבנתי למה התכוונת, כן, המכפלה הווקטורית ביניהם צריכה להיות 0
וכן, זה אומר שהזוית בין מסילת קרונית 2 לצד השלילי של ציר x היא ‎-45°‎

אם אתה רוצה באופן יותר מתימטי:
[TEX]\begin{center}0 = \vec{v_1}\times\left(\vec{v_1}+\vec{v_2}\right) = \vec{v_1}\times\vec{v_1}+\vec{v_1}\times\vec{v_2} = 0 + \vec{v_1}\times\vec{v_2} \\ \Downarrow \\ \sin (v_1, v_2) = 0 \\ \end{center}[/TEX]
מה שאומר שהזוית היא 0°, או 180°, אך ברור שהאפשרות השנייה היא הנכונה..

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

good enough for me!

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.