או.קיי, אני זקוק בבקשה להבהרה בנוגע לעצרת-
האם 2x! הוא ביטוי בפני עצמו (כלומר העצרת של 2x) או פעמיים עצרת של x? (העצרת אמורה להיות מצד ימין של הביטוי).

תודה מראש.

הביטוי כמו שרשום כאן הוא עצרת של 2X.
בדרך כלל בביטויים הכוללים משתנה/פרמטר נהוג להכניס את הביטוי לתוך סוגריים.

כל כך קיוויתי שזה פעמיים עצרת X... נו, לפחות עכשיו אני יודע מדוע לא הצלחתי להוכיח את הטענה באינדוקציה.

אז תעלה לפה את השאלה וננסה להזיק לך

להלן השאלה שממררת את חיי (כמו כמעט כל שאלה אחרת בחדו"א) :



ועליי להוכיח את הטענה באינדוקציה (שגם היא נמצאת אצלי ברשימות השחורות).

אני גם שונא אינודקציה, צריך לכתוב המון, ואז לגלות שיש טעות איפשהוא, ולכתוב הכל מהתחלה...
בשאלה הזאת אני מגיע למשהו יפה, רק חבל שהסימנים הפוכים אז זה שווה לכלום :/
איפה אתה לומד אם אפשר לשאול?

הטכניון, שרוב הקורסים בו נראים כאילו הגיעו מהפקולטה למתמטיקה...

אוקיי.. זה תרגיל קצת יותר קשה מהקודם

אז ככה:

בסיס האינדוקציה: מציבים, ברור


הנחת האינדוקציה:
[TEX]\frac{2^{2n-1}}{\sqrt{n}} \le {2n \choose n} = \frac{(2n)!}{n!(2n-n)!} = \frac{(2n)!}{n! \cdot n!}[/TEX]



הוכחה:צריך להוכיח עבור n+1, משמע צ"ל:
[TEX]\frac{2^{2(n+1)-1}}{\sqrt{n+1}} \le {2(n+1) \choose n+1}[/TEX]

כלומר:
[TEX]\frac{2^{2n+1}}{\sqrt{n+1}} \le {2n+2 \choose n+1} = \frac{(2n+2)!}{(n+1)! \cdot ((2n+2)-(n+1))!} = \frac{(2n+2)!}{(n+1)! \cdot (n+1)!} = \frac{(2n)! \cdot (2n+1) \cdot (2n+2)}{n! \cdot n! \cdot (n+1)^2} = \frac{(2n)!}{n! \cdot n!} \cdot \frac{(2n+1) \cdot 2 \cdot (n+1)}{(n+1)^2} = \frac{(2n)!}{n! \cdot n!} \cdot \frac{2 \cdot (2n+1)}{n+1}[/TEX]


כזכור, ע"פ הנחת האינדוקציה:
[TEX]\frac{2^{2n-1}}{\sqrt{n}} \le {2n \choose n} = \frac{(2n)!}{n!(2n-n)!} = \frac{(2n)!}{n! \cdot n!}[/TEX]

ולכן:
[TEX]\frac{2^{2n-1}}{\sqrt{n}} \cdot \frac{2 \cdot (2n+1)}{n+1} \le \frac{(2n)!}{n! \cdot n!} \cdot \frac{2 \cdot (2n+1)}{n+1}[/TEX]
כי רק הכפלנו את אי-השיוויון בגורם אי-שלילי


ולכן נסיים את ההוכחה ברגע שנראה כי:
[TEX]\frac{2^{2n+1}}{\sqrt{n+1}} \le \frac{2^{2n-1}}{\sqrt{n}} \cdot \frac{2 \cdot (2n+1)}{n+1}[/TEX]


ואכן:
[TEX]\frac{2^2 \cdot 2^{2n-1}}{\sqrt{n+1}} \le \frac{2^{2n-1}}{\sqrt{n}} \cdot \frac{2 \cdot (2n+1)}{n+1}[/TEX]

[TEX]\frac{2}{\sqrt{n+1}} \le \frac{2n+1}{(n+1)\sqrt{n}}[/TEX]

[TEX]\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}} \le \frac{2n+1}{2(n+1)}[/TEX]

[TEX]\sqrt{\frac{n}{n+1}} \le \frac{2n+1}{2n+2}[/TEX]

נעלה בריבוע:

[TEX]\frac{n}{n+1} \le (\frac{2n+1}{2n+2})^2 = \frac{(2n+1)^2}{(2n+2)^2} = \frac{4n^2+4n+1}{4n^2+8n+4}[/TEX]


נכפיל בהצלבה (ניתן לעשות זאת כי כל הביטויים חיוביים):

[TEX]n \cdot (4n^2+8n+4) \le (n+1) \cdot (4n^2+4n+1)[/TEX]


[TEX]4n^3+8n^2+4n \le 4n^3+4n^2+4n^2+4n+n+1[/TEX]


[TEX]0 \le n+1[/TEX]
וזה נכון כי מדובר במספרים טבעיים

Q.E.D

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

שובי, אתה מקור בלתי נדלה של ידע מתמטי .

אך הצלחתי להוכיח את האינדוקציה על ידי שינוי האי-שוויון- חילקתי את שני האגפים בשבר באגף ימין ואז הוכחתי שהביטוי גדול שווה 1. אני לא זוכר כרגע אם זה ארוך יותר מהפתרון שלך, אך הוא עובד.

תודה בכל מקרה .

אין בעד מה

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

גם אני נתקעתי בשאלה הזאת,נחמד ביותר
באיזה פקולטה כבודו לומד?