האמת היא שזה בין התרגילים הראשונים שנתנו לנו להוכיח, אז אני לא בטוחה כ"כ איך לגשת לזה.
הצעות כלליות? כיוון כלשהו? דרך?



תודה למי שיעזור

[התמונה הבאה מגיעה מקישור שלא מתחיל ב https ולכן לא הוטמעה בדף כדי לשמור על https תקין: http://img.photobucket.com/albums/v310/shir_bm/MyPics/botan4.gif]
תודה פום (:

רעיונית: אם קבוצת מספרים ממשיים היא חסומה, אזי ניתן "לתחום" אותה בתוך איזשהו קטע סופי (לא בדיוק ההגדרה הפורמלית, אבל שקול)
אך מכיוון שהמרחק בין כל 2 נקודות ב-A הוא לכל הפחות d, נקבל שיש בה סה"כ מספר סופי של מספרים


"פורמלית" (פחות או יותר..): A היא חסומה, על כן ניתן לתחום אותה באיזשהו קטע סופי ‎[m,n]‎ (ש-A מוכלת בו)
אך אם נחלק את הקטע לחלקים באורך d נקבל שבכל חלק כזה יש לכל היותר איבר אחד מ-A (כי המרחקים ביניהם הם לכל הפחות d)
משמע, בכל A יש מספר איברים לכל היותר כמספר הקטעים, שהוא קטן או שווה ל-[TEX]\left\lceil\frac{m-n}{d}\right\rceil[/TEX]
(זה ע"פ עקרון שובך היונים / עקרון דיריכלה)

סה"כ קיבלנו ש-A היא קבוצה סופית, ועל כן יש לה מינימום ומקסימום.

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

אבל זה שהיא קבוצה סופית זה כבר נתון, משמע שזה לא אומר שבהכרח יש לה מינימום ומקסימום.
מה גם שלא למדנו עדיין את עקרון שובך היונים\דריכיליה.
עכשיו, למה זה שהמרחק בין כל שני איברים הוא לכל הפחות D אומר שהיא חסומה?
הקבוצה יכולה להיראות ככה:
-δ , 0 , δ , 2δ , 3δ , 4δ ...
סתם לדוגמא, ולהמשיך ככה.

[התמונה הבאה מגיעה מקישור שלא מתחיל ב https ולכן לא הוטמעה בדף כדי לשמור על https תקין: http://img.photobucket.com/albums/v310/shir_bm/MyPics/botan4.gif]
תודה פום (:

נתון שהיא חסומה, לא נתון שהיא סופית
ב"סופית" אני מתכוון שיש בה מספר סופי של איברים.

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

עכשיו רק שמתי לב שציינת שלא למדתם את עקרון שובך היונים / דיריכלה
אבל זה סה"כ שם פורמלי לכלל פשוט והגיוני ולא צריך "ללמוד אותו"
סה"כ מה שהוא אומר זה שנניח ויש לך n+1 כדורים שאת רוצה להכניס ל-n תאים, אזי בהכרח יהיה תא בעל 2 כדורים לפחות (במקור יונים ושובכים..)

ואצלנו, נניח שחילקנו את הקטע ל-n חלקים בעלי אורך d, ונניח שב-A ישנם n+1 או יותר איברים, אזי בהכרח יש חלק אחד שבו נמצאים לפחות 2 איברים מ-A, מה שסותר את העובדה שהמרחקים ביניהם אמורים להיות לכל הפחות d

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

אני חושב שאפשר לפשט את זה...לבדידים!
ידוע לנו שהמרחק בין כל שני מספרים בקבוצה A שווה (או גדול, אבל זה לא משנה, לצורך העניין שווה) מדלתא.
ניקח בדיד בגודל של דלתא, ועכשיו נכניס את כל הבדידים בשורה לתוך קופסא (ברוחב של בדיד אחד...באורך לא ידוע, אבל סופי), והבדידים האחרונים שנכנסים באופן מלא לקופסא הם המקסימום והמינימום.
ואם נרצה לכתוב את זה מתמטית יותר (ושוביD מוזמן לתקן אותי):
ע"פ אקסיומת השלמות לכל קבוצה לא ריקה וחסומה יש סופרמום (S) ואינפימום (נקרא לו I, לא יודע אם זה השם הנפוץ).
מכיוון שאנחנו יודעים שהמרחק בין כל איבר בקבוצה הוא דלתא.
אזי המרחק בין S לבין I חלקי דלתא הוא מספר ממשי וסופי!
מה שאומר שאפשר לסדר את כל המספרים בין S לבין I לפי הסדר, והאיברים בקצוות הם המקסימום והמינימום.

לא הבנתי מה באת להראות

ציטוט:

במקור נכתב על ידי RP. אזי המרחק בין S לבין I חלקי דלתא הוא מספר ממשי וסופי! מה שאומר שאפשר לסדר את כל המספרים בין S לבין I לפי הסדר, והאיברים בקצוות הם המקסימום והמינימום.

איך השורה האחרונה נובעת מזו שלפניה?
זה שהמרחק הוא סופי זה ברור כי הקבוצה חסומה, איך נובע מכך שהאיברים בקצוות הם מינימום ומקסימום? (משמע שייכים ל-A עצמה)

אם A היא סופית, כמו שהראיתי, אזי זה ברור, אבל מה אם A אינה סופית? (כמו סתם קטע פתוח באורך סופי, כלומר חסום)

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.