שאלה יותר מהתחלת הקורס... אבל הנה השאלה:
"מצא וקטור יחידה אורתוגונאלי לוקטורים (1,2,1-,1) ו- (1-,2,1,1).
כמה וקטורים כאלו קיימים? נמק!"
עכשיו, אם זה היה סתם למצוא וקטור אורתוגונאלי הייתי מוצא את הפתרון הכללי עם מטריצה שאני מדרג, ומביע אותו עם t,s (המשתנים החופשיים), אבל מבקשים וקטור יחידה, ואני לא יודע איך ואם בכלל מכלילים את התנאי שהנורמה של הוקטור המבוקש תהיה 1, כי זה מסתבך עם הריבועים...
ניסיתי לפתור כאילו מתבקש למצוא רק את הוקטור האורתוגונאלי, ואז בסוף להתנות שהפתרון הכללי יהיה וקטור יחידה, ולא יצא...
מה עושים?

אהה, אותו דבר עם עוד שאלה שנתנו, "מצא וקטור אורתוגונאלי לוקטורים (1,2-,1) ו- (3,2,1) וכך שמרחקו מהוקטור (1,1,0) הוא שורש 3. כמה וקטורים כנ"ל מצאת?"
אז שוב, המרחק מבוטא עם נורמה, ויוצאים ריבועים...

זהו, תודה רבה לכל עזרה שהיא.

אניוואי, הסתדרתי עם השאלה השניה עם המרחק, הבעיה היא בשאלה הראשונה (והעיקרית)...

אני חושב שזה פיתרון:



עכשיו מעבירים את הטורים של x3 ו x4 לצד ימין:



יש אינסוף וקטורים כאלה.
ההסבר הוא באנלוגיה ל R3:
במרחב תלת מימדי יש רק שני וקטורים נורמליים המאונכים ל 2 וקטורים, אך יש אינסוף וקטורים המאונכים לוקטור יחיד. כלומר במרחב יש שני וקטורים אורתונורמליים ל n-1 וקטורים, אך יש אינסוף וקטורים לכל מספר של וקטורים הקטן מ n-1.
מדוע?
כי במרחב n מימדי יש בדיוק n-וקטורים לא תלויים. אם נתון לי n-1 וקטורים בלתי תלויים, הם פורשים תת-מרחב ממימד n-1, ולכן יכול להיות במרחב ממימד n רק עוד וקטור אחד (בשני כיוונים) המאונך להם מכיוון שאותו הוקטור בצירוף עם n-1 הראשונים פורשים את כל המרחב, וכל וקטור נוסף יהיה צירוף לינארי כלשהו של n הוקטורים הנ"ל. אבל אם נתונים n-2 וקטורים או פחות, יכולים להיות אינסוף וקטורים אורתונורמליים אליהם, כי כולם יכולים להיות כלולים בתת-מרחב נוסף של אותו מרחב, ותת מרחב זה הוא בלתי-תלוי ל n-2 הוקטורים הללו.
זה קצת קשה לי להסביר את זה, ויכול להיות שאני טועה, אבל אולי זו התשובה הנכונה

מנהל פורום חומרה

The only certainty in life is that there are no certainties.

דבר ראשון אני מצטער, לא כתבתי את השאלה נכון והחלפתי בין 2 משתנים באחד מהוקטורים, הוקטור שמחפשים צריך להיות וקטור היחידה ואורתוגונאלי לוקטורים:
(1,1-,1,2) ו- (1-,2,1,1)
אבל זה אמור לשנות את הפתרון לא בהרבה מדיי.
דבר שני אני מקווה שאני לא טועה, אבל אני חושב שעשית משהו לא חוקי שם בדירוג המטריצה, עשית R1+R2 בהתחלה, ומתחתיו R2-2R1, וכשעשית R2-2R1 לא התחשבת ב R1 אחרי ששונה ע"י הפעולה האלמנטרית R1+R2, אלא במה שהיה לפני הפעולה... זאת אומרת שינית 2 שורות אחת בעזרת השניה כאשר בשינוי השני לא התחשבת בשורה ששונתה. אלא אם כן אתה עושה פה משהו שאני לא מבין או מכיר...
דבר שלישי לא הבנתי מה שעשית בסוף, זה נרמול או משהו? אהה אני חושב שהדרישה היחידה זה שהנורמה של x תהיה שווה ל-1, כי רק נדרשת האורתוגונליות לוקטורים (1,1-,1,2) ו- (1-,2,1,1) וזה שהוא יהיה וקטור היחידה.
בקשר למה שרשמת בסוף לא ממש הבנתי הכל, בכל מקרה אני מאמין שאני אלמד את זה בהמשך הקורס.

אין עם זה בעיה.

בסוף פשוט הפכתי אותו לוקטור יחידה על ידי חלוקה בגודל שלו... ואח"כ פישטתי את הגודל שלו כדי שנקבל וקטור עם שני פרמטרים חופשיים.

מנהל פורום חומרה

The only certainty in life is that there are no certainties.

פשוט אתה לא בדיוק עושה את זה בשיטה שלדמתי.
בקשר לכמה פעולות במעבר אחד - עד כמה שאני יודע אין בעיה עם לעשות 2 פעולות ביחד כמו
R2-2R1
R3-3R1
אבל אם אתה עושה 2 פעולות כמו
R2-R1
R1+3R2
אז הפעולה הראשונה משנה את R2, ולכן כשאתה עושה לאחר מכן R1+3R2 אז ב 3R2+ אתה אמור להוסיף ל R1 את R2 לאחר ששונה, לא? כי בעצם אם תהיה לך מטריצה כזאת למשל:

(2 1)

(4 2)

תוכל כביכול לעשות במעבר אחד את הפעולות:

R2-2R1

R1-(1/2)R2

ולקבל מטריצה:

(0 0)

(0 0)

שכולה אפסים שבעצם לכל x1,x2 יש פתרון, בשונה מהמערכת המקורית. ככה זה לפחות לפי מה שלמדתי...

בכל מקרה באמת נירמלתי את הפתרון הכללי לאורתוגונליות וקיבלתי את התשובה שהייתי צריך, אז תודה

אין עם זה שום בעיה.
פשוט תחשוב על זה כמערכת משוואות (שזה בעצם מה שזה באמת...), אין שום בעיה לעשות שתי פעולות כאלה, אתה לא עובר על שום חוק ולא "מקלקל" שום דבר ממערכת המשוואות שלך...

מנהל פורום חומרה

The only certainty in life is that there are no certainties.